一、知識梳理

1、餘角概念：

如果兩個角的和是90°，那麼這兩個角互為餘角，簡稱互餘．

2、補角概念：

如果兩個角的和是180°，那麼這兩個角互為補角，簡稱互補．

3、注意點：

互為餘角、互為補角僅僅表明了兩個角的數量關系，并沒有限制角的位置關系．

4、鄰補角概念：

兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，叫做鄰補角．

5、同一個角的補角與餘角的關系：

同一個角的補角比它的餘角大 90°．

6、餘角補角的性質：

同角的餘角相等，同角的補角相等．

等角的餘角相等，等角的補角相等．

7、對頂角概念：

一個角的兩邊分别是另一個角兩邊的反向延長線，且這兩個角有公共頂點，那麼這兩個角是對頂角．(對頂角由兩條相交直線産生)

二、典型例題

例1：判斷正誤：

(1)一個角一定小于它的餘角，也小于它的補角．

(2)如果兩個角互補，那麼這兩個角是銳角和鈍角．

(3)如果三個角的和為180°，則這三個角互補．

(4)如果兩個角相等，那麼她們的補角也相等．

(5)若∠1＝∠2，則∠1和∠2是對頂角．

(6)互補的角就是平角．

(7)互餘的兩個角一定都是銳角．

(8)不相等的兩個角不是對頂角．

解析：

(1)錯誤，如60°大于它的餘角30°，100°大于它的補角80°．

(2)錯誤，兩個角可以都為直角．

(3)錯誤，互補是兩個角之間的數量關系．

(4)正确．

(5)錯誤，比如一個角的角平分線，把這個角分成2個相等的小角不是對頂角．

(6)錯誤，兩個互補的角的度數之和是平角的度數．

(7)正确．

(8)正确．

例2

解析：

例3：

一個角的餘角比它的補角的一半還少20°，這個角的度數為______°．

分析：

這種題目難度不大，可以直接解設這個角的度數為x，表示出這個角的餘角和補角，根據題目，列出方程．

當然本題還有一種做法，即設這個角的補角度數為x，表示出這個角的餘角，同時，還要利用一個隐含的數量關系，同一個角的補角比它的餘角大 90°．

解答：

三、思維提升

1、找餘角補角

例1：

如圖，O是直線AB上一點，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，圖中與∠DOE互餘的角有哪些？與∠DOE互補的角有哪些？

分析：

找互餘的角，首先要找直角内部的射線将直角分成的2個角，或者可以形象的稱為“鄰餘角”．

其次，再找有沒有其他角和“鄰餘角”中的一個相等，則和另一個也互餘．

找互補的角，首先找找有沒有鄰補角．再找有沒有其他角和鄰補角中的一個相等．

這裡∠DOE相鄰的餘角有2個，∠EOF，∠DOB，再找找有沒有和這兩個角相等的角．

∠DOE在圖中沒有鄰補角，因此，隻能找和它相等的角，不難發現是∠AOF，找∠AOF的鄰補角，再找和∠AOF的鄰補角相等的角．

解答：

∵∠AOE＝∠FOD＝90°，∴∠BOE＝90°

∠3＋∠4＝90°，∠3＋∠2＝90°，

∴∠2＝∠4，

∵OB平分∠COD，

∴∠4＝∠5，∠2＝∠5，

∴∠DOE互餘的是∠2、∠4、∠5；

∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，

∴∠3＝∠1

∵∠1＋∠BOF＝180°，

∠BOF＝∠2＋∠3＋∠4＝∠5＋∠3＋∠4＝∠EOC，

∴與∠DOE互補的角是∠BOF、∠EOC．

1、找餘角補角

例2：

如下圖，AOE是一條直線，從點O引射線OB，OC，OD，若∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝90°，那麼圖中互餘的角有哪幾對？互補的角有哪幾對？

分析：

思路與例1一緻，先找位置相鄰的餘角，找鄰補角，然後找有沒有其他角與其中一個相等的角，對于兩個直角，也别忘了它們互補．

解答：

∵∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝90°

∴∠1＋∠2＝90°

∠2＋∠3＝90°，

∠3＋∠4＝90°，

∠1＋∠4＝90°，

互餘的角有4對，

∠1與∠2，∠2與∠3，∠3與∠4，∠1與∠4，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4

∵∠1＋∠DOE＝180°，∴∠3＋∠DOE＝180°，

∠4＋∠AOB＝180°，∴∠2＋∠AOB＝180°，

∠AOC＋∠COE＝180°，

∠AOC＋∠DOB＝180°，

∠DOB＋∠COE＝180°，

互補的角有7對，

∠1與∠DOE，∠3與∠DOE，

∠4與∠AOB，∠2與∠AOB，

∠AOC與∠COE，

∠AOC與∠DOB，

∠DOB與∠COE．

1、找餘角補角

例3：

如圖，直線 AB與CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分線，

(1)寫出∠DOE的補角；

(2)要若∠BOE＝62°，求∠AOD和∠EOF的度數；

(3)求∠DOF的度數？

分析：

(1)要找∠DOE的補角，可以找它的鄰補角，也可以找與∠DOE相等的角，再找出它的補角．

(2)要求∠AOD，不一定非要用角度之和，可以用180°減去∠BOD，要求∠EOF，可以求∠AOE，再求其一半．

(3)雙角平分線問題，找到出現兩次的邊OE，則∠DOF看作∠FOE＋∠DOE，利用一半加一半可求．

解答：

2、用方程思想

例1：

如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．∠BOF＝30°，則∠AOC＝______°．

分析：

要求∠AOC，其實就是求∠BOD．要求∠BOD，根據角平分線條件，可設∠EOD為x.，然後表示出∠EOF，進而表示出∠COE，則∠COE＋∠EOD＝180°，作為方程的相等關系．

解答：

∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE，

∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠FOE，

∴設∠BOE＝x°，則∠BOD＝2x°，

∵直線AB、CD相交于點O，

∴∠AOC＝∠BOD＝2x°，∠EOF＝∠COF＝(x＋30)°，

則∠COF＋∠EOF＋∠DOE＝2(x＋30)＋30＝180，

解得：x＝40，

故∠AOC＝80°．

2、用方程思想

例2：

如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，∠AOD＝∠BOD，且∠DOF與∠BOF的度數之比為3：1，求∠COE的度數．

分析：

要求∠COE，其實就是求∠FOD．而∠DOF與∠BOD的度數比已知，則可以設x，利用它們的差是∠BOD求解，而∠AOD＝∠BOD，它們又是鄰補角，則∠BOD的度數很快可知．

解答：

解設∠BOF＝x°，∠DOF＝3x°

∴∠BOD＝∠DOF－∠BOF＝2x°

∵∠AOD＝∠BOD，∠AOD＋∠BOD＝180°，

∴∠BOD＝90°，

2x＝90，x＝45

∠DOF＝135°．

思考題

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!