01

故事起源

一群人開舞會，每人都戴着一頂帽子。帽子隻有紅和黑兩種，其中黑的至少有一頂。每個人能看到其它人的帽子顔色，但看不到自己的。

大家先一起做一個遊戲，規則如下：

所有人先看别人頭上戴的是什麼帽子，然後關燈，如果有人認為自己戴的黑帽子，就打自己一個耳光。

遊戲開始：

第一次關燈，沒有聲音。

于是打開燈再看一遍，第二次關燈，依然鴉雀無聲。

一直到第三次關燈，才有聲音響起。

問：有多少人戴着黑帽子？

02

分析

假設有5個紅帽子，和5個黑帽子。

對于紅帽子的人，他看到的是有4個紅帽子，和5個黑帽子。

對于黑帽子的人，他看到的是有5個紅帽子，和4個黑帽子。

那麼第一次關燈，對于任何一個人，隻能得到上面的信息，他是無法判斷自己的帽子顔色的，所以肯定啥也不發生。

03

尋找突破口

題目是問戴黑帽子的有幾個人，跟具體人數相關。但我們再回到題目描述，并沒有給總共多少人，也沒有說紅帽子有多少人，隻有一個跟數字相關的條件，就是戴黑帽子的至少有一人，這就是突破口。

所以這類的問題都可以從題目的信息量上面尋找突破口。

沒有說紅帽子有多少人，說明解題的思路肯定跟紅帽子沒什麼關系，有多少都無所謂，那就從黑帽子開始思考。

04

小規模簡單場景

4.1

假設隻有1個黑帽子

對于每一個紅帽子，他看到的場景是這樣的。第一次關燈他們都無法确定自己帽子的顔色。

對于唯一的一個黑帽子，他看到的場景是這樣的。因為至少有一個黑帽子，他沒有看到，所以推出自己一定是黑帽子，第一次關燈聲音響起。

4.2

假設有2個黑帽子

對于每一個紅帽子，他看到的場景是這樣的。第一次關燈他們是無法判斷的。

對于2個黑帽子，他看到的場景是這樣的。

第一次關燈，他們都在等對方打耳光，所以什麼也不會發生。

因為第一次沒有聲音，這時他倆都知道，第一次對方在等自己打耳光。所以這時他們都可以判斷自己是黑帽子，第二次關燈聲音響起。

4.3

假設有3個黑帽子

對于紅帽子的人來說，一定比黑帽子的人後得到信息，所以不考慮。

對于其中的每一個黑帽子，他們認為2次之後對方可以發現，結果兩次之後因為都在等，不會有聲音，那第三次都可以判斷自己是黑帽子了。

4.4

假設有N個黑帽子

根據上面分析，可以推論第N次聲音響起。所以題目第3次有聲音，也就意味着有3個黑帽子。

05

總結

對于所有的紅帽子，他們的地位是相同的，也就是視角永遠一樣，對黑帽子也同樣成立，所以如果有信息就會是同時得到，而不是一些人先發現。那這個問題就分紅黑兩類來考慮就行了。這也是屬于博弈論相關的問題，可以先考慮小數據的簡單場景。

來源： 中科院高能所

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