讀後感：

一個下午加昨天兩口氣讀完了《奇妙數學史》。這本是我認真讀了且讀懂了的少數數學書。數學概念的定義與解釋非常有趣且邏輯完備。一點點地培養數學思想。

書中摘記：

自聯合全球所有有志之士的GIMPS項目啟動之後（見第178頁方框），已知的梅森素數中近1/3在這個項目中被新發現。最近一次的突破性工作發生在2016年

GIMPS

互聯網梅森素數大搜索，簡稱為GIMPS，是數學界最大的公共項目之一。确定一個自然數為素數需要大量艱巨的計算，而GIMPS項目使得任何一位數學愛好者可以下載素數篩選程序軟件到個人計算機中，以尋找新的梅森素數。計算機啟動後，該軟件将在後台運行，并把計算結果回饋給主機。自1996年開始，迄今已有150000位成員、超過100萬台計算機參與這一國際合作項目。到目前為止，已發現的49個梅森素數中有15個是通過GIMPS項目找到的。

梅森素數一直受到人們的關注的原因有兩個：第一，它們是由已知的素數計算得到的，便于考查；第二，梅森素數公式為我們發現另一類神奇數字提供了可能。

梅森可謂世界上交友最廣泛的數學家，他與歐洲許多傑出的智者有着頻繁的聯系。

人們容易把一個較大的合數當成素數。根據定義，要說明一個數是素數，需要驗證所有小于這個數的素數均不是其因子。

素數通用公式？上段提到的公式：2p-1=另一個素數，是否适用于所有的素數呢？曾經人們也相信了很多年。其實上述公式并不能生成所有的素數。Mp=2p−1早期錯判。

有一類素數能夠通過一個簡潔的公式用其他更小的素數表達出來，這些素數稱為梅森素數。

數字化革命

香農的工作表明數字信号不光更易于處理，而且，因為它們隻是簡單的數字字符串，所以它們攜帶的信息能被各種媒介壓縮、傳輸和存儲。

在1937年，年僅21歲的他發表了其碩士論文，内容是布爾代數（見第137頁）如何可以被用來設計一台基于二進制計數的物理“邏輯機器”。

其中設計的指令和規則使計算機處理一定的輸入就得到人們期望的輸出。

信息論

美國國家航空航天局著名科學家和科普作家卡爾·薩根概括說，如果能在一張紙上寫下1古戈爾普勒克斯這個大數，那麼，這張紙将大得無法存在于我們的可觀測宇宙中。1立方米空間中所有可能的量子态總數也不到1古戈爾普勒克斯。事實上，1立方米（近乎一位成人身體的體積）空間裡原子有101070種不同的排列方式。這意味着，如果一個人行進101070米，他必然遇見了1立方米空間中所有的微觀粒子（或空曠的空間）。繼續前行，他将重複看見遇見過的粒子。在他走完1古戈爾普勒克斯米之前，他将重複這種現象許多許多次。不過，薩根也提到：“1古戈爾和1古戈爾普勒克斯離無窮大仍然很遠，亦如自然數1。”

有名字的最大數

1古戈爾普勒克新（googolplexian）等于10的古戈爾普勒克斯次方，也就是1後面跟着古戈爾普勒克斯多個零。這個大數是迄今有名字的數中最大的一個。那麼，接下來，我們該如何命名10googolplexian呢？

後來，卡斯納定義1古戈爾普勒克斯為一個巨大的數：1後面跟着古戈爾個零。

超脫自然

1古戈爾表示1後面跟100個零，一個我們幾乎無法想象的數，比我們迄今為止讨論的數大上萬億個數量級。這個數過于巨大，很難與自然界的某種事物建立對應關系，以使我們增進對世界的了解。科學家估計宇宙中亞原子顆粒的數目大概是1080，而這個數相較于1古戈爾仍是相形見绌，不足一提。但是，如果有足夠的耐心和足夠大的草稿紙，人們還是能夠把這個數完完全全寫下來的。

數學的神奇之處包括它能處理的數可以遠遠大于我們實際遇到的。這也是美國數學家愛德華·卡斯納在考查了一些超大數之後大感興趣的。這位數學家留世的發現之一得來其實純屬偶然。

谷歌公司名字的由來

20世紀90年代中葉的一天，兩位斯坦福大學數學專業的研究生謝爾蓋·布林和拉裡·佩奇正為給剛成立的網絡公司起名發愁。一位朋友建議公司就命名為大數古戈爾（googol），但是，沒想到的是，這位朋友把詞拼寫錯了，寫成了google。布林和佩奇覺得那就将錯就錯吧。于是，1998年9月4日，兩人用Google的名字注冊成立了一家公司，從而開啟了網絡搜索新時代。位于聖弗朗西斯科的公司總部被命名為Googleplex。

數學上用完全不同的方法處理大數。我們可以從龐大的事物中抽取樣本作子集，計算子集的基數，用此基數乘以子集的個數就估算出整體的數量。再利用科學記數法，把難于書寫的大數用乘方的形式表達

展示集合之間運算的韋氏圖可以設計得很優美。在下面的3個彩色韋氏圖中，讀者能數清楚各個交集嗎？我們在左下方的韋氏圖中标注出了所有集合與交集，以供讀者參閱。

之後，天才的艾倫·圖靈提出一個設想：能否發明一台萬能機器，通過某種一般的機械步驟，能在原則上一個接一個地解決所有數學問題。最終這個設想沒有實現，但是，成就了數字計算機的誕生

仙境中的集合《愛麗絲漫遊奇境記》是英國作家劉易斯·卡羅爾在19世紀六七十年代所著的童話故事。卡羅爾的原名叫查爾斯·道奇森，也是一位數學家。整個故事充斥着數學思想，如愛麗絲行走的道路可以作隻改變尺寸不改變形狀的相似變換。愛麗絲遇見鴿子那段故事可以用集合論來诠釋。鴿子指責愛麗絲是一條蛇，想吃她的蛋。鴿子從來沒有見過小女孩，它認為它樹上所有的東西都是蛇。兩者讨論了蛇、食蛋動物和小女孩的特征。愛麗絲堅持說一些蛇會吃蛋，一些小女孩也會吃蛋，但是，沒有哪個小女孩會是蛇，它們是不同的兩個集合類。鴿子表示不同意，它們認為所有的蛇和食蛋者都是一類的，小女孩作為食蛋者是蛇集合中的一個子集。迪士尼版的《愛麗絲漫遊奇境記》中，三月兔向瘋帽匠讨要半杯茶，結果瘋帽匠居然把茶杯一分為二後遞給三月兔。

羅素利用這個理發師悖論說明集合論是自我指涉的。也就是說，它用自身作為元素定義自己，進而引發出自我否定的結論。人們對數的研究是建立在集合論之上的，因此，如果集合論被質疑，整個數學王國将徹底傾塌。

悖論是一種表面上同時隐含着兩個對立結論的命題或推理，而這兩個結論都能自圓其說。最有名的悖論之一是說謊者悖論，它來源于公元前6世紀的哲學家古希臘的克裡特人埃庇米尼得斯說的一句話：“所有克裡特人都是說謊者。”因為他自己就是克裡特人，所以，我們隻能認為他自己也是一個說謊者，因此，不是所有克裡特人都說謊。如果埃庇米尼得斯正是說實話的人之一，那麼，所有克裡特人都該是說謊者，包括他自己，如他的話陳述的，這樣，這些推理就進入了一個無休止的死循環。這句話是一個悖論，因其是自我指涉的，一個克裡特人談所有克裡特人，在說到自己時否定了自己，它的斷言總是與自身矛盾。這些悖論聽起來如有趣的謎題，但是當這些自我指涉的推理運用于數學上時，整個數學體系的準确與合理性受到了質疑。

如上面的購物問題中，我們可以把雜貨店中所有待售物品作為元素構造全集。數學上，全集可以包含任何考查的對象，包括它自己本身。這種一個集合可以以自身為元素的設定導緻了數學史上最有趣悖論之一的産生。而現在，我們應該明了集合論是如何完善化以彌補這個漏洞的。

一個集合就像一個容器，可以“裝下”任何事物，比如剛剛從商場購得的物品。

數學家們針對集合概念揭示了一些邏輯悖論，并提出完善和修正方案。完善之後的體系最終引發了計算機革命，進而改變了整個世界。

把現實世界中的事物或數據按類分成不同的集合，是一種簡化問題、便于相互比較分析的手段。然而，這種看似簡單的操作在20世紀之初讓數學陷入了一場危機。最終，集合論的嚴格化和完善化才化解了這場危機。

現代物理也發現原子并不是最微小的物質，不過，同時也發現時空均有下限，不能任意細分。當然，數學和數字可以超脫于真實世界之外存在，并沒有數字“原子”不能被細分。事實上，任何數，無論多小，都可以被減半。

“超越”的意思就是“遊離于……之外”

下一個問題是，這個數是不是某一類數的代表？

如果你認為數字王國是個有序的世界，那麼你錯了。大多數數字是無序的，它們形成了數字王國中無法被估算的旋渦。

數學家們一直在探索數字王國中的新事物。19世紀70年代，他們發現有一些數遊離于數學常規之外。數學家們喜歡把數按照某個規則或性質劃分成不同的類或集合。這種方式便于他們理解數之間的關聯，比如哪些性質是所有數的共性，而哪些隻是部分數才有的性質。超越數是存在于我們能夠想象到的各種類型之外的夾縫中的數。部分超越數，如e和π，是我們所熟知的，但是，我們還未曾見到絕大多數的超越數，亦不可能見到。

按13取模把所有正整數分成13個類。

同樣的，由模1運算可以得到整數集合。因此，所有整數按1取模後同餘也許這個結果并不令人多麼震驚，但是它用簡單的形式很好地诠釋了取模運算的過程。

任何一個偶數按2取模後餘0。

取模運算

是時候對數進行劃分，以解決數學問題了。一個簡單的劃分技巧能把大數都轉化成小很多且簡單很多的數。取模運算正是運用這一技巧把所有的數字都劃分成不同的類。

谷歌公司由幾位數學家創建。（數學家能成立公司創業，這也是數學課堂上老師教育學生勤奮努力學習的範例之一。）2004年，谷歌公司公開上市開始出售股票，首筆的報價為2 718 281 828美元——也就是說，e×10億美元。

何時一個字母不再僅是一個字母？當這個字母是一個數字的時候。作為字母表中的第五個字母，e也是數學裡最神秘的數字之一。當人們用數學去描述自然現象，他們發現最終結果常常含有這個神奇的數e。這是為什麼呢？

但是，二進制運算下人們隻需要做4種和式：02 02=02，02 12=12，12 12=102和12 12 12=112。而十進制運算中，我們需要處理幾十種和式。因此，設計一台加法機器的話，用二進制編程是最為簡便的。當然，代價是需要進行大量的子運算，而這些繁雜的工作機器會幫我們完成。這種機器就是數字計算機。

測量其實就是把一個對象的特性數字化——然後數學才能粉墨登場。測量使得人們可以比較不同的事物。而在做這些之前，人們首先需要統一單位。

曆史上有不少“白癡天才”的故事，他們普遍智能低下，卻有着非凡的技能，如能進行不可思議的複雜心算。其中一位為人們熟知的天才叫傑迪戴亞·巴克斯頓，他生活在18世紀的英國。據說巴克斯頓不會讀寫，知識面也很窄。他沒有上過正規的數學課，但是他能把看見的任何事物都數字化。他去為一個地主丈量田地面積，不用任何工具而光靠在田地中行走就得到了以平方英寸為單位的結果。他還能把田地分割成毛發寬度（1英寸的1/48， 1英寸=2.54厘米）。巴克斯頓能處理數百位的數字，并且他還自己發明了一些數字，如“tribe”（部落）表示100萬的立方，即1018，以及“cramp”（抽筋）表示1000個“tribesoftribes”，即1039。

有了制表機，原來預計10年完成的工作6周就結束了！

微積分是研究持續變換現象的一種數學方法

速率是一個标量，隻有大小，沒有方向性，而速度是一個向量，是有方向性的

隻能對行數和列數都相同的矩陣進行加法或減法運算。對于矩陣間的乘法，左乘矩陣的列數必須等于右乘矩陣的行數，才能進行運算。

“matrix”（矩陣）和“vector”（向量）是活躍在影視劇中的兩個炫酷詞彙（其中有部分影片很酷），而它們均是數學專用詞彙。一個矩陣其實就是由一些數排列成的陣列，從畫圖到運轉全球搜索引擎都用到了矩陣。

5個簡單的運算符号足以令你開啟數學之旅

數學運算符号對于簡化數學表述形式非常重要，我們幾乎無法想象在計算中缺了它們會怎樣。但是，在數學史的千百年裡，數學運算符号其實是一個相當新近的發明。

四元數

德國數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯用複數做了大量工作（命名複數也是他的主意）。1831年，他把它們描繪為“影中之影”，他發現i僅僅是諸多複數單位中最簡單的。1843年，威廉·羅恩·漢密爾頓揭示了複數僅是四元數的一個子集。四元數是四維的，使用單位j、k、1和i。這是一套非常複雜的數學體系，并非設定虛數在另一坐标軸，而是先将它們展成一個平面，接着是三維立體，再接着是四維的“域”。漢密爾頓在都柏林散步時悟出了這個，唯恐忘記，就把他的公式刻在了石橋上！

最初，這種做數學的方法似乎荒誕不經，但最終大有妙用。

數學越來越奇怪啦。何時數不是數？就是在虛數中呀。假如把虛數與現實中切切實實存在的實數結合起來，那又如何呢？

海螺殼越長越寬。據說它也是按照斐波那契數列生長的，但是增長的比例小了些——盡管如此，依然美不勝收。

斐波那契數這個數列裡的數叫作斐波那契數（Fn）。數列是無窮的，但是并非算術數列，因為斐波那契數之間的間距是不同的；也非幾何數列，因為間距不是常數的倍數。那麼，我們如何計算斐波那契數呢？下一個數必為之前兩數之和

數學養兔斐波那契數列闡述了兔群數量的增長規律。斐波那契指定了兔子繁殖的一套規律，但是我們沒法用它來管理農場——現實中兔子可不是這麼繁殖的。

斐波那契數列：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181, 6765, 10 946, 17 711,28 657, 46 368, 75 025, 121393, 196 418, 317 811......

階乘一般用來表示一串數字（或者其他東西）有多少種排列。比如，如果你有5種不同顔色的籌碼，就有120種擺放方式。

負數次方對數量級尤其有用。十億分之一就是1×10-9，而皮秒就是1×10-12秒——也就是萬億分之一秒

達·芬奇對黃金比例很感興趣，他嘗試用它去拟合人體，然而，他發現得拉伸身體的某部分（通常是軀幹）或者縮短某部分（腿）才能辦到（譯者注：不同的人體形會有差别）。

在黃金比例中，數學與藝術交彙。許多人說發現數學的過程很美，而黃金比例展示了美如何成其為數學。

瑪雅數字在表示大數時很有效率，可以應用于他們複雜的曆法，比如瑪雅數字的9999相當于現代數字的75 789。

點點杠杠紀念碑上的瑪雅數字，圓點代表1，橫杠代表5，貝殼代表0（更多内容參見第34頁）。日常的數學運算都是用這些點點杠杠完成的，它們用各種模式排布起來表示數量。這種數字的表示方式簡潔至極、無可改進，點點杠杠簡單地排列在一起，每5個點進位成一橫杠，每4個橫杠進位成20，于是在貝殼符号上方加個圓點來表示。這套系統這麼簡單，即使是很大的數字的加法都可直接計算，不費思量。

網球中的零分寫成“love”——色即是空

零，或許是數學史上最偉大的發現——或許是發明？一片虛空無人見，如此而已。将零作為标示空無的術語，用于計數，此乃數學界翻天覆地之舉。在數學界有經天緯地之舉者，必當名垂青史。然而，零的發現并非一人之力。千年以來，不同想法，形形色色，彙聚一處，或有遺忘。這些想法始于公元前700年的巴比倫，但是我們追尋整個故事，還能上溯更遠。

但是，分數究竟本身就是個真真正正的數呢，抑或不過是兩個整數的比值而已？比方說，1/2是一個數，還是1除以2的答案？事實上，二者皆然。二者都能幫助我們了解各種各樣的數。

羅馬數字轉為現代數字：DLXXVI=D L X X V I=500 50 10 10 5 1=576

羅馬數字做加法：XVI CLII(16 152)=X V I C L I I=10 5 1 100 50 1 1=168

羅馬數字做乘法：XX×VI(20×6)=(X×V) (X×V) (X×I) (X×I)=L L X X=CXX=120

羅馬數字做乘法簡單點的方法也有一個，跟我們當今用的乘法差不多，可是羅馬人不用哦！方法是将一個數裡的每個數位的值與另一個數的各數位的值相乘，然後把得到的一串數加到一起。羅馬數字的數碼隻有7個值（1、5、10、50、100、500、1000），你隻要記住一個含其中6個數碼的六六乘法表（見第22頁）就行了，但是這樣做速度會慢一點。例如，XVI(16)×VII(7)就是(X×VII) (V×VII) (I×VII)，或者說LXX XXVVV VII。把它們都加起來就是LXXXXVVVVII，也就是LXXXXXXII，即CXII或者112。

中國竹籌計數最多畫5條線來表示一個數。

大約2000年前，中國商人和數學家開始使用算盤。中國形制的算盤裡，下部的算珠用來數1到5，上部的記錄5的個數。

對于能手，算盤是強大的計算器。

羅馬人用字母來書寫數字。這套系統是五進制的。I代表1，V代表5，X代表10，L代表50，C代表100，D代表500，M代表1000。請注意IV代表“差1個到5”，也就是4。

空間緊張的時候，比方說刻在雕像或墓碑上，有些數字就用減法來簡寫：4就是IV，或者“比5少1”；9就是IX，40是XL。但是，寫在紙面上時不采用這套減法系統：4就是IIII，9就是VIIII。這樣便于用羅馬數字做加法。事實上，這大概比我們如今使用的系統還簡潔。羅馬數字做加法，可以把兩個符号合并起來，從大的開始寫。所以CXXVII（127）  LVIII（58）求和成了CLXXVVIIIII。這個符号需要整合成大數。從尾端最小的數開始， IIIII變成V，這就構成了VVV，即XV，最終這數成了CLXXXV，或者說185。成功啦！羅馬人知其然，隻是不知其所以然。減法也挺簡單，可以從小數開始劃去，一直劃到大數。所以，對于MDLI（1551）-MXI（1011），我們劃掉M，保留D。我們再把L改寫成XXXXX，劃掉一個X，還剩XXXX，最後把I劃掉，結果就是DXXXX或者說540。

巴比倫人既是天文學家，又是數學家。他們追蹤太陽在天空的運動，指出每360天為一周期。這成為一年的長度。于是人們用360份或者360°來衡量圓周。太陽在白天的軌迹劃分為12小時，夜間是另外12小時。（請注意現在這些數字都跟60有關。）一小時又分成60小份，或者說“分鐘”。每分鐘進一步分成60“次級分鐘”，或者說“秒”。我們迄今仍沿用這套系統，它運轉精良，如果沒崩壞，就無須修正。圓周的一半是180°（3×60），整圓是360°（6×60）。使用這些數字是因為它們便于整除。表盤分成12個大區和60個小區，這些都源于巴比倫數學。

數字60可以被2、3、4、5、6、10、12、15、20和30整除！而數字10隻能被2和5整除，因此，與十進制相比，用六十進制自有其好處。

對于4這個數，我們的大腦不用具體數也能立刻認出來。對于5以上的數，我們的大腦依然能快速數出來，不過是三三兩兩加起來的。

它們自然有現實世界中的用途，也是通往新世界的輪毂。這個世界不是由星星和黑洞組成的，而是數字以不可想象的方式連接而成的。其實我們也不好說“不可想象”，因為數學本身就是純想象。數字世界隻存在于腦海，而且無邊無際。幾百年來，數學家找到了無涯的數字之海的模式和聯系，在本書中你可以領略些許。一旦學會用數字思考，你的數學世界将非常美妙。更妙的是，這也會反射到現實世界。換言之，數學是我們描寫世界的語言。

《牛津通識讀本：數學》

讀後感：

不知道到底是數學思想更重要還是計算更重要

沒有思想，數學學習就成了苦澀的修行，丢了本質

不學計算，考試就過不了

何以得兼？

書中摘記：

但如果你幾年沒有做數學，你就失去了數學的習慣，很難再重拾了。

是否能将他們的專長用于解決極其困難的問題，則在很大程度上決定于細緻的規劃：選取一些可能會結出豐碩成果的問題，知道什麼時候應該放棄一條思路（相當困難的判斷），能夠先勾勒出論證問題的大框架繼而再時不時地向裡面填充細節。這就需要對數學有相當成熟的把握，這絕不與天賦相矛盾，但也并不總是會伴随着天賦。

上面所說的最後一條素質，從根本上要比驚人的大腦運轉速度更加重要。數學中絕大多數影響深遠的貢獻是由“烏龜”們而不是“兔子”們做出的。随着數學家的成長，他們都會逐漸學會這個行當裡的各種把戲，部分來自于其他數學家的工作，部分來自于自己對這個問題長時間的思考。

我并不了解究竟是什麼因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇氣、堅定和耐心，對他人完成的艱難工作的廣泛了解，在正确時間專攻正确領域的運氣，以及傑出的戰略性眼光。

當然，這些都是不可能的。因為我們不知道如何能站到宇宙之外——這種想法幾乎在措辭上就是矛盾的——我們能夠用的證據隻能來自于宇宙之内。那麼，什麼樣的證據有可能說服我們空間是彎曲的呢？

我們都知道線或面被彎曲是什麼意思，但空間本身就是自在之物。即便我們能夠在一定程度上對三維空間彎曲的概念賦予意義，與曲面的類比還是揭示出，我們自己不可能觀察到空間是否彎曲，除非跳到第四維中去觀察。在那裡也許我們會發現宇宙是一個四維球體（我在第五章中解釋過的概念）的表面，這個球面至少聽起來是彎曲的。

我曾經說它作為模型是很有用處的。但是，既然我們所居住的實際空間是三維空間，高維幾何究竟有什麼用處呢？

讨論到現在，如果說有什麼事情看起來很明顯的話，那就是任何形狀的維數總是一個整數。你要是說需要兩個半坐标來确定一個點——即便是個數學的點，這會是什麼意思呢？

通過分析許多類似的公司，你可能會确定出空間中的某個區域，認為購買此區域中的股票是不錯的主意。

對數學來說，這個心理學要素的影響已遠遠超出幾何學的範圍。投身于數學研究所能得到的樂趣之一就是，随着專業領域的經驗越來越豐富，你能夠發現自己“僅僅觀察”就能得到越來越多問題的答案，不一定非得是幾何問題，而這些問題你以前可能要艱難思考上一兩個小時。

當然，這遠比三維的圖像化要困難——比如，我無法直接回答，四維立方體旋轉是什麼樣子，而三維的我就可以說出來——但是，這也明顯要比五十三維的圖像化要容易，要是它們都不可能的話也就談不上誰比誰容易的問題了。有一些數學家專攻四維幾何，他們四維空間圖像化的能力得到了極大拓展。

于是我可以“僅僅觀察”到，五維立方體又是由這樣的兩個四維立方體組成的，依舊是對應頂點相連，總共有32 32 16=80條邊（每個四維立方體有32條邊，其間有16條邊連結它們），恰與我之前得到的答案相同。于是，我具有了某種初步地将四維和五維圖像化的能力。（如果你對“圖像化”這個詞感到困擾，可以換一個詞，比如“概念

高維幾何又是一例最好從抽象角度來理解的概念。讓我們不去擔心二十六維空間的存在等等，而去考慮它的性質。你可能會疑惑：這東西連是否存在都不确定，怎麼可

在不涉及無窮的情況下，我不去證明它的面積是12，而是滿足于證明它的面積不是别的任何數。圖形的面積是我所不能證僞的那個數。

Ar1移動圖形，圖形面積不變。（更正式的說法：兩個全等的圖形面積相等。）Ar2如果一個圖形完全包含于另一個之内，那麼第一個的面積不大于第二個。Ar3矩形的面積通過它的長寬相乘得到。Ar4将圖形切成若幹部分，則各部分面積之和等于原圖形的面積。Ar5圖形向各方向擴張為原來的2倍，則圖形面積變為原來的4倍。

這又是抽象方法大有用處的一個例子。讓我們不要關注面積是什麼，而是關注面積能夠做什麼。

數學家經常談論“在極限時”或者“在無窮時”的情況如何，但他們都很明白，他們并沒有把這種說法完全當真。如果強迫他們說出确切意思，他們就會轉而談論近似。

在模型裡，我們就有可能進行完全精确的計算

數學想要取得原創性進展：關注内部矛盾運動，關注外界生活實際(各門學科)向它提出的問題和需要

對于數學，不要問它是什麼，而要問它能做什麼

遇到難題時我們應該把它轉換為多個較為簡單的問題

術語解釋（按拼音排序）半徑　　　　　　圓的中心到圓周的距離。倍數　　　　　　一個整數能把另一個整數整除，則前者為後者的倍數。比率，比　　　　 一個數相對于另一個數的數量級。常數　　　　　　公式中的不變量。π就是一個數學常數。乘法　　　　　　把一個數自加很多遍（即乘上某個倍數）的一種運算。運算所得的結果稱為乘積。乘積　　　　　　一次乘法運算的結果。除法　　　　　　尋找一個數，使之乘以給定的數等于另一個數。剩餘的部分就是餘數。除法是乘法的逆運算。除數　　　　　　用來均分一個大數的數。等式　　　　　　一個數學表達式與另一個的相等關系。例如2x=3y。方根　　　　　　指數運算（求幂運算）時的底數，即方根自乘整數次後可以得到指數運算的結果。公式　　　　　　用于計算某特定數值的等式。弧　　　　　　　圓周的一部分。弧度　　　　　　部分圓周相對于半徑的倍數，以之分割一個圓。基　　　　　　　集合中元素個數的度量。基數　　　　　　一種進制記數法中單位元的個數。幾何（等比）級數　從第二項起，每一項與其前一項的比值恒為同一個常數的一種數列。計數　　　　　　通過做記号記錄事物個數的一種簡單過程。加法　　　　　　把數合

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