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行程問題

關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關系，再根據這類問題的規律解答。

解題關鍵及規律：

同時同地相背而行：路程=速度和×時間。

同時相向而行：相遇時間=速度和×時間

同時同向而行（速度慢的在前，快的在後）：追及時間=路程速度差。

同時同地同向而行（速度慢的在後，快的在前）：路程=速度差×時間。

例題：

甲在乙的後面 28千米 ，兩人同時同向而行，甲每小時行 16千米 ，乙每小時行 9千米 ，甲幾小時追上乙？

【分析】甲每小時比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速度差。

已知甲在乙的後面 28千米 （追擊路程）， 28千米裡包含着幾個（ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時間。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小時）

2

流水問題

一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

相關概念：

船速：船在靜水中航行的速度。

水速：水流動的速度。

順水速度：船順流航行的速度。

逆水速度：船逆流航行的速度。

順速=船速＋水速

逆速=船速－水速

解題關鍵：

因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。解題時要以水流為線索。

解題規律：

船行速度=（順水速度 逆流速度）÷2

流水速度=（順流速度逆流速度）÷2

路程=順流速度×順流航行所需時間

路程=逆流速度×逆流航行所需時間

例題：

一隻輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28千米 ，到乙地後，又逆水航行，回到甲地。逆水比順水多行 2小時，已知水速每小時 4千米。求甲乙兩地相距多少千米？

【分析】此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，隻知道順水比逆水少用 2小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。

列式為 28—4 × 2=20 （千米）

2 0 × 2 =40 （千米）

40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小時）

28 × 5=140 （千米）。

3

還原問題

已知某未知數，經過一定的四則運算後所得的結果，求這個未知數的應用題，我們叫做還原問題。

解題關鍵：

要弄清每一步變化與未知數的關系。

解題規律：

從最後結果出發，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導出原數。

根據原題的運算順序列出數量關系，然後采用逆運算的方法計算推導出原數。

解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，後算乘除法時别忘記寫括号。

例題：

某小學三年級四個班共有學生 168人，如果四班調 3人到三班，三班調 6人到二班，二班調 6人到一班，一班調 2人到四班，則四個班的人數相等，四個班原有學生多少人？

【分析】當四個班人數相等時，應為 168 ÷ 4 ，以四班為例，它調給三班 3人，又從一班調入 2人，所以四班原有的人數減去 3再加上 2等于平均數。

四班原有人數列式為 168 ÷ 4-2 3=43 （人）

一班原有人數列式為 168 ÷ 4-6 2=38 （人）；二班原有人數列式為 168 ÷ 4-6 6=42 （人）三班原有人數列式為 168 ÷ 4-3 6=45 （人）。

4

盈虧問題

在等分除法的基礎上發展起來的。他的特點是把一定數量的物品，平均分配給一定數量的人，在兩次分配中，一次有餘，一次不足（或兩次都有餘），或兩次都不足），已知所餘和不足的數量，求物品适量和參加分配人數的問題，叫做盈虧問題。

解題關鍵：

盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除後一個差，就得到分配者的數，進而再求得物品數。

解題規律：

總差額÷每人差額=人數

總差額的求法可以分為以下四種情況：

第一次多餘，第二次不足，總差額=多餘 不足

第一次正好，第二次多餘或不足 ，總差額=多餘或不足

第一次多餘，第二次也多餘，總差額=大多餘-小多餘

第一次不足，第二次也不足，總差額=大不足-小不足

例題：

參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數的色筆，如果小組 10人，則多 25支，如果小組有 12人，色筆多餘 5支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？

【分析】每個同學分到的色筆相等。

這個活動小組有 12人，比 10人多 2人，而色筆多出了（ 25-5 ） =20支 ， 2個人多出 20支，一個人分得 10支。

列式為（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12 5=125 （支）。

5

雞兔同籠

已知“雞兔”的總頭數和總腿數。求“雞”和“兔”各多少隻的一類應用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題

解題關鍵：

解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然後根據出現的腿數差，可推算出某一種的頭數。

解題規律：

（總腿數－雞腿數×總頭數）÷一隻雞兔腿數的差=兔子隻數

兔子隻數=（總腿數-2×總頭數）÷2

如果假設全是兔子，可以有下面的式子：

雞的隻數=（4×總頭數-總腿數）÷2

兔的頭數=總頭數-雞的隻數

例題：

雞兔同籠共 50個頭， 170條腿。問雞兔各有多少隻？

兔子隻數 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （隻）

雞的隻數 50-35=15 （隻）

6

其他公式

三角形的面積＝底×高÷2。公式 S= a×h÷2

正方形的面積＝邊長×邊長公式 S= a×a

長方形的面積＝長×寬公式 S= a×b

平行四邊形的面積＝底×高公式 S= a×h

梯形的面積＝（上底 下底）×高÷2公式 S=(a b)h÷2

内角和：三角形的内角和＝180度。

長方體的體積＝長×寬×高公式：V=abh

長方體（或正方體）的體積＝底面積×高公式：V=abh

正方體的體積＝棱長×棱長×棱長公式：V=aaa

圓的周長＝直徑×π公式：L＝πd＝2πr

圓的面積＝半徑×半徑×π公式：S＝πr²

圓柱的表（側）面積：圓柱的表（側）面積等于底面的周長乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh

圓柱的表面積：圓柱的表面積等于底面的周長乘高再加上兩頭的圓的面積。公式：S=ch 2s=ch 2πr2

圓柱的體積：圓柱的體積等于底面積乘高。公式：V=Sh

圓錐的體積＝1/3底面×積高。公式：V=1/3Sh

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