本期文章的主題是函數的求導分析。函數作為高考數學範圍最廣，難度最大的一類知識，幾乎滲透進了數學考試的每一個求解步驟。

如果大家注意總結自己以往的考試題目或者習題的話，不難發現這樣一個事實：隻要問題涉及到代數公式，它總能采用函數或者函數的相關知識進行求解！

因此，如果想在數學考試中獲得至少20分以上的大幅度進步的話，函數的學習不可馬虎，而函數的分析也不能出現任何差錯！

為此，我們請到了在2015年江蘇高考中獲得滿分的徐承東同學，他将結合自己的經驗為大家介紹函數求導的相關學習訣竅，幫助大家在接下來的複習過程中取得更好的成績。

本期文章是徐同學的訪談記錄的整合版，大緻包含如下兩個内容：

導數基本知識的學習：極限和導數嚴格來說是高等數學知識，因此從推理證明的角度去學習掌握導數的相關知識對于一般的高中同學來講會非常困難。

但是，如果将導數視作一種特殊的公式并将其加以靈活記憶，那麼這部分基礎知識将成為高中數學函數知識中比較容易掌握的那部分。

導數知識在數學考試中的應用技巧：導數知識被壓縮到高中課程以後，考試對其進行檢查的難度也相對于高等數學有所降低，因此大家隻需要掌握一些特定的技巧，就能在考試中做到對導數知識的靈活應用，進而更為高效地解決壓軸題中的函數分析類問題。

第一步掌握導數基本知識

訣竅一：導數是檢驗函數變化趨勢的唯一标準

如果你是年進入高三複習的同學，應該很容易就能察覺到這個說法是有問題的。

在高中，比較函數單調性的方法至少在三種以上，其中圖像法和作差求商法是大家最早接觸到的辦法，也相對比較直觀。

但是，這些方法僅限于能夠計算函數值和存在已知函數圖像的幾種基本函數，例如二次函數的抛物線、三角函數的正弦曲線等，但是對于更為一般的、以表達式給出的函數來說，這些方法基本上都是無效的——大部分高考壓軸題中的函數，既沒有辦法通過計算函數值來比較特定區間内的大小，也沒有辦法通過拼湊基本函數的圖來判斷其變化趨勢，因此本質上，高一和所學的函數分析知識在高考中幾乎很難考到，而對于一般的函數表達式，能夠準确預測其變化趨勢的分析方法，在高中階段有且僅有導數。

因此，大家在進入高考總複習之前必須有意識地培養自己善于“揚棄”的習慣，而在函數分析這部分知識中，使用求導完全代替圖像法和作商法就是揚棄的第一步！

在此基礎上，必須堅定這樣的一個信念：

隻要給定了函數的表達式，那麼通過某種形式的求導，它的變化趨勢一定能和我們高中所學的基本函數模型産生聯系，因此這些問題一定是可以求解的！

不過需要提醒大家的是，求導的過程本質上是使用一個更加簡單的、可以判斷零點特性的函數表示已知的複雜函數的過程，因此隻有對高中課本裡的各類基本函數的單調性和零點特性有充分的了解，才能實際保證這部分題目能夠得到正确的答案。

因此，函數求導的知識，對于認真掌握教材基本知識的同學而言是較為簡單的，而對于沒能理解教材基本要點的同學來說，即便是認真掌握了求導公式也未必能在這部分取得相應的突破。

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訣竅二：極限可以不會，公式不能不背

導數知識的核心是導數公式，而導數公式則存在兩個分支：基本函數的導數公式和函數運算的導數公式。我們首先來看基本函數的導數公式：

在高等數學的發展史中，導數公式的推導是利用極限的相關知識來進行的，但是對于當前的高中知識體系而言，極限卻不是一個必須運用到能夠獨立推導導數公式這種程度的知識。因此，對于各位同學來說，記住導數公式比理解它的推導更為重要！

但是，如果大家完全不去理會極限的話，上面的公式的記憶将産生一個最為棘手的問題：因為沒有所謂的“規律”可循，因此每一個公式都需要獨立記憶，因此基本函數的導數公式也成為了曆來數學考試中最容易出現計算錯誤的知識點。

不過在從高考曆年的真題大數據來看，有這麼幾個導數公式是必須注意的：

多項式函數的導數公式：

正弦與餘弦三角函數的導數公式：

指數函數與對數函數，尤其是e指數前提下的導數公式：

上述基本函數的導數公式，在各項數學考試中的地位非常重要，基本上每一次考試都會碰到。

訣竅三：換元打包，一波帶走

前面已經提到，上述函數的導數公式隻能對應一般的基本函數，但是對于考試中經常出現的複雜結構的函數，則需要使用求導運算公式來處理：

換元法是使用上述公式的要點。上面的公式中，每一個代數符号u, v對應的都可能是考試中的一個任意多項式。究竟哪些多項式必須被包含進一個代數符号的範疇，則需要由各位同學自己判斷。

因此，求導過程中容易出現的第二個陷阱，就是在使用導數運算公式時，将問題搞得過于複雜。

對于同一個一般的函數而言，其求導方案很可能不止一種，因此我們在這裡給出幾個必須遵循的原則：

1. 盡可能避開分式整體求導

2. 盡可能避開複合求導

3. 函數求和進行整體求導時，應盡可能在拆分後的每一個單位内包含更多的多項式

分式整體求導因為涉及到平方運算，而且對u和v的先後順序有明确要求，因此在求導的過程中非常容易産生分母多項式缺項和分子多項式正負号反轉的錯誤，而複合求導的過程中則會涉及到多個三項以上的多項式相乘，因此也容易在項的元素和符号上發生錯誤。

在求和的整體求導過程中，為了保證盡可能少地使用複雜基本函數的導數公式，應盡可能将函數的子項“打包”成一個整體求導。

以上的原則總結起來，就是“換元打包，一波帶走”，即使用盡可能少的步驟和盡可能簡單的導數公式獲得一般函數的導函數。

第二步 使用導數解決函數分析問題

訣竅四：求導問題就是零點問題

大家必須明确這樣一個事實：

求導運算帶給大家的，是一個新的函數，因此你的分析工作不過是從一個函數轉向了另一個函數！

但是，比起原函數，名為導函數的新函數至少有如下的幾個特點：

1. 函數的零點可以通過明确而有限的幾次因式分解獲得，并且零點的數值或代數結構不會特别複雜

2. 函數的圖像可以通過已知函數的圖像進行變換、組合獲得，或者通過不超過1次的求導獲得其在定義域内的變化趨勢

這樣的函數才是考試中最常見、最容易作為壓軸題主角的函數。如果大家在求導結束後發現函數的結構比求導前更為複雜，那麼就必須提高警惕，及時檢查自己的計算是否出錯了。

導函數本質上是反映原函數随自變量增加而變化的情況的一種特殊函數，而導函數的實數值便代表了函數在某個特定位置處的變化率。因此，導函數的零點往往是原函數變化率發生根本性變化的分界點，找到零點，基本上就可以确認函數的一個圖像上的“波峰/波谷”

這一特性，使得繪制一般函數圖像的工作能夠在确認導函數零點的前提下順利推進，而導函數的正負則提示了對應區間内函數的單調性。因此，隻要能夠順利将基本函數的零點性質與導數公式予以掌握，那麼在處理同類問題的時候計算效率将會成倍地提升

訣竅五：做題容易檢查難，打好“伏筆”更簡單

前面已經提到，導數計算在求解數學函數大題的過程中是最容易出錯的地方。錯誤的原因主要有兩類：導數公式的誤用引發的原理性錯誤和求導方案過于繁瑣引發的随機錯誤。

與一般的數學題的檢查流程不同的是，這類問題的預防不能單單依靠檢查階段的計算複核，因為各位同學在考試過程中精神往往處于高度緊張的狀态，因此很容易在做題的時候産生先入為主的慣性思維，而這種思維對于檢查求導過程中的原理性錯誤毫無幫助！

在這種情況下，我們就需要在做題的時候适當為後期檢查留出空間，這種做法和寫作時的“打伏筆”是類似的：

1. 使用導數公式的時候盡量按照标準公式書寫草稿，時間充裕的話可以采用下劃線标記區分各個代數單位（即四則運算中的u和v）

2. 書寫多項式的時候盡可能将獨立的單項書寫清楚，尤其是符号和字形相近的字母以及上标字符（例如平方符号），這樣在檢查的時候将使得每一個具體的項都有對應的公式支撐，其符号的正誤也能更容易地判斷出來。

以上的小建議，都可以在無形中提升大家求解問題的速度和做題效率。

好的，本期的數學考試專項技巧講座就到這裡，之後希望同學們做這麼一件事：

在充分理解上述訣竅的基礎上，用秒表測一測自己完成一個一般的函數求導所需要的時間，并尋找其中效率最高的求導方案

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