分式方程分離常數法求整數解-tft每日頭條

分式方程分離常數法求整數解

科技更新时间:2025-01-13 07:35:08

我們知道，根據方程有解、無解，不等式成立、恒成立，求參數取值範圍，在高考中是一個長考不衰的命題，客觀題中考，解答題中也考，變着花樣考；但是由于含有參數，對很多學生來說，常常會感到束手無策，因為含參數問題往往牽涉到分類讨論，而分類讨論又恰好是個難點，一個痛點。

根據我多年的跟蹤研究，我發現大多數求參數取值範圍問題，其實是可以避開分類讨論這個陷阱的。我認為這才是更具實用價值的解題思維，正所謂“不戰而屈人之兵，善之善者也”。如果真的去分類讨論參數，就被命題者牽着鼻子走了，看似前面康莊大道，實則一路泥濘沼澤。不知大家注意到沒有，每年高考公布答案時，含參數問題，它公布的一定是分類讨論的那一種，在命題人眼中，這也許是最中規中矩的吧，也許也最能體現壓軸題的“風采”吧！

我今天想跟大家分享的是，如何利用分離參數法和分離函數法避開分類讨論或降低分類讨論的難度，從而求出參數取值範圍。

分式方程分離常數法求整數解（分離參數法解決方程有解）1

【評析】先縮小x的取值範圍：x∈（1,3e]是關鍵，再用分離參數法完成就較為簡單。應該說觀察法在整個解題過程中比較重要的，首先要觀察出有一部分範圍，不等式是必然成立的，其次就是分離參數後的不等式左側可以直接觀察出函數是單調的，而右側函數的極值點x=e，及其導函數的正負是通過觀察其導函數表達式确定的．

通過上述解題過程，我認為中等生和優生可以不費絲毫力氣地理解掌握。這個分離參數法的解法可以說遮住了壓軸題的“風采”！

分式方程分離常數法求整數解（分離參數法解決方程有解）2

分式方程分離常數法求整數解（分離參數法解決方程有解）3

【評析】這道題雖含參數，但通過倒數法分離參數，規避了分類讨論的麻煩，是不是感覺簡單多了。

分式方程分離常數法求整數解（分離參數法解決方程有解）4

上述通過換元的方式“孤立”參數或分離參數，我們可稱為換元法分離參數。

這個題提供的參考答案，也是對參數進行分類讨論的，解題過程很長很繁瑣，給學生按答案思路講，恐怕收效甚微，于是我就想到換元法進行探索，結果很理想！

【評析】

分式方程分離常數法求整數解（分離參數法解決方程有解）5

上述通過換元的方式“孤立”參數或分離參數，我們可稱為換元法分離參數。這個題提供的參考答案，也是對參數進行分類讨論的，解題過程很長很繁瑣，給學生按答案思路講，恐怕收效甚微，于是我就想到換元法進行探索，結果很理想！

分式方程分離常數法求整數解（分離參數法解決方程有解）6

【評析】：第（1）問，由于使用了換元法，使參數a單獨凸顯出來，為簡潔地解決問題做了很好的準備工作.第（2）問，進行分段讨論要有觀察能力，後面能運用以直代曲，切線放縮的思想，進行放縮證明.【階段小結】通過以上四個實例，我們可以發現，常規法分離參數，倒數法分離參數，換元法分離參數，分類法分離參數，确實規避了對參數的分類讨論。這些方法其實是一種很自然的方法，學生一旦接觸、領悟，定會豁然開朗，便會形成一種條件反射。當然，針對某些具體題型，分離參數法并不一定是最簡單的方法，如一次函數、二次函數背景的命題，可能利用它們自身的函數性質解題會更簡單。另外，我們有時也會遇到這樣一種情形，即分離參數後的函數，非常複雜，極不容易研究出它的性質，那麼該怎麼辦？

——分離函數法便大有用武之地！由于今天時間有限，這個方法我們可以在以後的時間裡再進行交流。

陳永清老師編著并出版了一本極具個性和特色的高中數學知識要點和解題方法的輔導工具書——《輕松快捷巧記高中數學知識與解題方法》（湖南師範大學出版社出版，2017年8月第一版）

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