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tan的兩角和計算公式

生活更新时间:2025-01-29 08:32:25

幾天前看到一篇文章，介紹這個公式，感覺還是我自己寫一次比較容易懂，不要《走近科學》遮遮掩掩的風格。

我們首先來考慮兩個模為1的複數

cosα isinα, cosβ isinβ

我們将兩數相乘得

(cosα isinα)(cosβ isinβ)

=(cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ) (cosα⋅sinβ cosβ⋅sinα)i

=cos(α β) isin(α β)

我們得到一個非常簡潔的複數乘法規律

(cosα isinα)(cosβ isinβ)=cos(α β) isin(α β)

于是，我們可以得到

tan的兩角和計算公式（tan的倍角公式）1

這就是複數的乘方，當然我們也可以得到

tan的兩角和計算公式（tan的倍角公式）2

現在我們用二項式定理處理上式的左邊

tan的兩角和計算公式（tan的倍角公式）3

考慮到i的乘方性質

tan的兩角和計算公式（tan的倍角公式）4

于是

tan的兩角和計算公式（tan的倍角公式）5

分開即可得

tan的兩角和計算公式（tan的倍角公式）6

兩式相除得

tan的兩角和計算公式（tan的倍角公式）7

當然，我一點也不希望朋友們去記這個公式，說實在，記不住也沒必要。

非要記得話，可以這樣記，将

tan的兩角和計算公式（tan的倍角公式）8

奇數項丢分子，偶數項丢分母，再一正一負加起來即可。

我覺得推導過程中用到的“複數乘法二項式定理”有趣的很，可以用于茶餘飯後向學弟學妹吹噓。

注意：别太難了，否則後果自負。

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