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三角函數的誘導公式及倍角公式

生活更新时间:2024-10-13 23:18:25

複數歐拉定理

三角函數的誘導公式及倍角公式（利用歐拉定理對三角函數倍角公式進行降維打擊）1

該公式搭建了複數與指數函數之間的橋梁，而複數又可以用三角函數表示，所以該公式也搭建起了三角函數與指數函數的橋梁。

如此，利用該公式，很多三角函數的問題可以用指數函數來解決。

該公式的證明有很多種方法，如麥克勞林展開式（Maclaurin's Series）。

三角函數倍角公式推導

三角函數的誘導公式及倍角公式（利用歐拉定理對三角函數倍角公式進行降維打擊）2

三角函數的誘導公式及倍角公式（利用歐拉定理對三角函數倍角公式進行降維打擊）3

那麼，有沒有通用倍角公式呢？也即求

三角函數的誘導公式及倍角公式（利用歐拉定理對三角函數倍角公式進行降維打擊）4

，其中n為自然數

的公式呢？

确實有這樣的公式。求通用倍角公式的方法很多，這裡采用歐拉公式進行降維打擊方案。

我們知道：

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兩邊n次方，得到

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也即

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上述等式右邊采用牛頓二項式定理展開，得到

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再根據歐拉定理展開上述等式左邊，得到

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根據複數相等的公式（實部與實部相等、虛部與虛部相等），即可求得

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三角函數的誘導公式及倍角公式（利用歐拉定理對三角函數倍角公式進行降維打擊）11

變形為：

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也即

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也即，可以

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是餘弦函數的一元n次有理方程。

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即

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可以通過正弦函數與餘弦函數的二元n次多項式表示。

當n=2、3、4、5時，得到

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上述公式的系數似無規律，不直觀，記起來很困難。那麼有沒有必須要記憶，而直接寫出上述公式的方法呢？

還得從上述公式通過歐拉定理和牛頓二項式定理推導來的，其系數與楊輝三角形有關：

三角函數的誘導公式及倍角公式（利用歐拉定理對三角函數倍角公式進行降維打擊）18

如

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相關的楊輝三角數如下圖紅框：

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如第8行的數據為1、18、70、28、1，根據該序列，可以直接寫出：

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如第13行的數據為1、78、715、1716、1287、286、13，根據這個數列，可以直接寫出：

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同樣地，

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相關的楊輝三角數如下圖藍框：

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如第9行數為9、84、126、36、1，據此直接寫出：

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小結

利用高等數學知識，可以降維打擊和解決初等和中等數學的問題，如本章内容利用歐拉定理、二項式定理，輕松解決高中三角函數任意倍數公式問題。

本文相關知識：歐拉定理、二項式定理。

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