17世紀是歐洲數學複興的重要時期，以解析幾何、微積分、概率論、射影幾何為代表的新興領域直接影響、決定了之後幾個世紀的數學發展方向。在此期間，誕生了許多數學大家，其中最具代表性的有：牛頓、費馬、笛卡爾、萊布尼茨、帕斯卡、惠更斯、卡瓦列裡、沃利斯、笛沙格。

牛頓

這些數學家中，牛頓是是當之無愧的老大，有着微積分創始人身份（與萊布尼茨共享）的牛頓爵士，無論在應用數學還是純數學上都有着17世紀數學家們難以企及的貢獻。但是如果接着往下排序，牛頓之後你會選誰呢？

費馬——是我的選擇，相信你也不會反對，畢竟有着“業餘數學王子”美譽的費馬，對17世紀數學中最重要的三個領域——解析幾何、微積分、概率論——都起到了決定性作用。費馬與笛卡爾一起發明了解析幾何，與帕斯卡、惠更斯共享了概率論的創立，他也是牛頓、萊布尼茨之前對微積分有着最大貢獻的數學家。同時，費馬還是繼丢番圖之後，歐拉、高斯之前對數論起主要推動的數學家。

費馬（Pierre de Fermat，1601-1665）

16世紀代數學有了很好的發展，三、四次方程的求根公式由塔爾塔利亞等意大利數學家陸續給出，“代數學之父”——韋達關于符号在代數上的使用更是讓代數學飛速發展。到了17世紀，伽利略引入了“函數”的概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。代數變得比以前重要了，但是幾何自古希臘開始到17世紀初都還是數學家們研究數學的基礎。

這一格局即将被打破，17世紀的兩個重要發現：一個是解析幾何、另一個是微積分，即将為代數的“王者之路”掃平障礙。

尺規作圖問題曆來被數學家們喜愛，17世紀的數學也不例外。生活在法國安德爾-盧瓦爾省的笛卡爾是一位著名的哲學家和數學家，他因為一句“我思故我在”名揚中外。1637年，笛卡爾發表了論文《幾何》，該冊子第一部分并不特别，笛卡爾繼續韋達的研究，把幾何作圖問題轉化為代數運算問題；但是當讀者閱讀到第二部分時，徹底的“懵”了，笛卡爾作出了一個驚人的舉動：使用代數方程去研究曲線，他将研究的曲線用兩段距離表示，這樣會得到一個二元方程。沒錯，這就是“解析幾何”第一次給人們見面。

正當笛卡爾為自己的研究而倍感自豪時，“業餘數學家”費馬有想法了。《平面和立體的軌迹引論》(1679)是費馬1629年完成的著作，但直到他去世14後才發表，此書比笛卡爾更早的提出了“解析幾何”的思想。

笛卡爾

費馬的工作是從研究古希臘數學家的著作開始的。首先，他重新寫出了古希臘數學家阿波羅尼奧斯的幾何學著作《論平面軌迹》。接着，他從丢番圖出發研究了算術，并受韋達代數研究的影響。在他看來，古人對于幾何問題的研究技巧性太強，幾乎一題一解、不具一般性；同時，當時的代數研究缺乏基礎，與幾何的嚴謹性形成鮮明的對比，但是對于思維量的要求則要小得多。一個天才的想法産生了：為何不把代數和幾何結合起來，取長補短，而更好的服務于數學研究呢？

費馬的做法是這樣的：如圖，曲線上任意一點J的位置由兩個線段OZ和ZJ決定，記他們的長度分别為A和E。這樣根據一定的運算，可以得到這條曲線所對應的二元方程。費馬意識到不同坐标系會得到不同複雜程度的方程，但是如果A和E都是1次時，該曲線為直線。當A或E為2次時，該曲線代表圓錐曲線。

從今天的角度來看，費馬的坐标軸隻有x軸（圖中OZ）,而沒有y軸，這裡的A、Z分别相當于橫坐标x和縱坐标y。費馬的坐标系也非我們現在常用的直角坐标系，而是比較複雜的斜坐标系(一個例外是在費馬推導切線時，他用到了直角坐标系，見下文)。同時，根據費馬的坐标系，得到的點的坐标也隻有“正數和0”而沒有負數。

這些“瑕疵”在一個發明的初期是值得原諒的，畢竟他們隻是開路人，後期完善和美化還需後人來完成。不管是費馬還是笛卡爾，在探索“解析幾何”的路上他們做出了最偉大的貢獻，他們将兩個看似不相容的領域融合到了一起。從此，人們可以利用代數知識來證明關于曲線（幾何）的任何性質，擺脫了幾何學複雜的“腦力活動”，而歸于自動化的計算。同時，将方程（代數）轉化為幾何對象，賦予其幾何意義，可以更直觀的研究代數對象。還有一點更為重要的是，“解析幾何”的發現為17世紀最偉大的發明——微積分鋪平了道路。

文藝複興後的17世紀，數學家們緻力于解決4類科學問題，并最終導緻了微積分的發明。

（1）已知物體運動距離s關于時間t的函數，求瞬時速度v或加速度a.

（2）求曲線的切線.

（3）求函數的最大值和最小值.

（4）求曲線長度、曲面面積.

問題（1）實質是物理中關于變化率的問題，一般解法要直到牛頓才給出。問題（2）-（4）在牛頓之前已由費馬、Wallis 等數學家給出個例解答，并最終由牛頓、萊布尼茨進行高度統一為函數求積和求導的過程。牛頓已經認識到函數求積、求導的互逆性，并使用“廣義二項式定理”将超越函數（如y=sinx等）展開為多項式的形式、再進行求微積分。

牛頓的關于微積分的創造性工作讓他在純數學領域得到了足夠大的名聲。但他自己也坦言：“如果說我看得比别人更遠些，那是因為我站在巨人的肩膀上”。根據牛頓的記錄，這些巨人中就包括費馬。

費馬關于微積分的先見性工作主要集中在處理問題（2）-（4）上。對于問題（2）,費馬（也包括笛卡爾）首次将切線定義為“割線的極限”（17世紀以前由于曲線都是指通過尺規作出的圖形，切線一般是指與曲線隻有一個交點的直線）.因此，費馬求切線的過程，相當于是割線的逼近過程。具體如下：

如圖，以T為坐标原點，則TQ為橫坐标x,QJ為縱坐标f(x).當E很小時，根據△TJQ∽△JRT’，且T’R≈J’R.于是TQ:JQ=E:(J’Q’-RQ’).即， x:f(x)=E:(f(x E)-f(x)). 最後，令E=0,就可計算出TQ(或x)的值，進一步切線TJ也就确定了。這樣的解法與我們現在求切線的方法一緻，E為增量△x.改寫為今天的形式

（△x→0）相當于切線的斜率。費馬的先見之明着實讓我們震撼。

接下來是問題（3），費馬的思想如下：設自變量x增加到x △x,當函數y=f(x)在極值處時，函數f(x)與f(x △x)是相等的。這樣得到的兩個方程聯立，再使得△x=0.就可解得極值。

從現在角度來看，費馬其實已經意識到了極值點處函數的導函數等于0（所以才有f(x)與f(x △x)是相等）。最後是問題（4），1936年，費馬用現在我們所用的方式求出了函數

曲線下的面積，用現在的符号表示為：

盡管n=-1，即y=1/x的積分費馬并沒有給出，但是1647年，聖文森特在他的著作《幾何著作》中，使用費馬的方法得到了其結果為klogy.

從上面的分析我們知道，費馬為微積分的成型其實已經做了大量的獨創性工作，求切線、求面積的方法為微積分提供了一般性解決方案。而且在一定程度上，牛頓、萊布尼茨的工作就是建立在費馬和其他數學家工作的基礎上的，但是費馬并沒有對它們進行高度有效的統一，他也沒有“廣義二項式定理”這樣有效的工具——可以将超越函數轉化為多項式來求積或求導。

但是作為一個“業餘數學家”來說，這樣的工作已經是無人能及了。接下來再看看費馬的另一項重要貢獻——概率論。

概率論起源于賭博，包括16世紀著名數學家卡爾達諾（Cardano）就已研究過擲骰子中遇到的一些簡單問題，但是概率真正起源要歸功于三個人：帕斯卡、費馬和惠更斯。

17世紀，法國賭徒梅内（Méré）就一個賭資分配問題請教帕斯卡（ Pascal，1623-1662），于是有了帕斯卡和費馬關于“點數分配問題”的著名讨論。

經過簡化，我們可以這樣簡化梅内遇到的問題：甲、乙兩人抛硬币，甲賭“正(Z)”，乙賭“反(F)”，赢家每次得1分，并各下賭注10元，先得10分者獲取所有賭注。但是賭博在“甲8分、乙7分”時中斷，問應該如何分配這20元賭注？

費馬發現這樣的賭局至多需要4局就可以判斷甲、乙的輸赢，因此他列舉了所有的情況，并根據“期望值”來分賭注。

經過統計，在這16種結果中，有11種情況是“甲赢”，而另外5種是“乙赢”。因此甲可分得20×11/16，而乙可分得20×5/16.這與帕斯卡的方法殊途同歸。

最後，“期望值”的概念也被同時代荷蘭著名數學家惠更斯( Huygens，1629-1695年)寫進他的《論賭博中的計算》（1657）一書中，這是真正意義上的第一部概率論著作。但是數學家們仍然喜歡把1654年7月29日定為概率論的“生日”，因為這天是費馬與帕斯卡就“梅内問題”通信的日子。

自惠更斯以後，再經伯努利、拉普拉斯、柯爾莫哥洛夫等數學家的努力，概率論成為了當今社會不可或缺的數學理論。

解析幾何、微積分、還有數論，讓這位“業餘數學王子”進入了頂級數學家行列，但是我想最讓費馬愛不釋手的，還是數論。他從古希臘數學家丢番圖哪裡開始學習數論。

費馬研習丢番圖的《算術》，并将書中不定方程的研究限制在整數範圍内，從而開始了數論這門數學分支。關于《算術》的筆注讓他有了“吹牛皮”的嫌疑，比如費馬大定理：

n>2是整數，則方程x^n y^n=z^n沒有滿足xyz≠0的整數解.

在書頁旁邊，費馬備注到：“将一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次幂分成兩個四次幂之和，或者一般地将一個高于二次的幂分成兩個同次幂之和，這是不可能的。關于此，我确信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下”

費馬輕描淡寫一句話，讓數學家們忙活了幾百年，而直到1995年，才由英國數學家懷爾斯予以證明。

當然，費馬不止有“費馬大定理”，列舉其他主要成果如下：

○費馬小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一個素數，a是正整數

○全部大于2的素數可分為4n 1和4n 3兩種形式。

○形如4n 1的素數能夠，而且隻能夠以一種方式表為兩個平方數之和。

○沒有一個形如4n 3的素數，能表示為兩個平方數之和。

○4n 1形的素數與它的平方都隻能以一種方式表達為兩個平方數之和

......

費馬生來富貴，一生無憂。他的父親是一位商人，母親為貴族。盡管費馬可以全憑實力打拼，但生活在“賣官賣爵”(法國)泛濫的17世紀，費馬大學還沒有畢業，家裡就給他在洛馬涅買好了“律師”和“參議員”的職位。這一入行就是一輩子，他這一生都是一個全職的律師。但也正是因為律師的職業，讓他有了比其他人更多的時間來研究數學，并取得了驕人的成就。

參考文獻：

1.克萊因.古今數學思想.上海科學技術出版社.2009

2.梁宗巨.世界數學通史（上）.遼甯教育出版社.2005

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