• 一個場景

天氣預報又要有大暴雨了。你心頭一驚，城區必定大堵車，堵車原因是因為積水排不出去，排不出去是因為下水系統不行。

但是市政部門的解釋，市政系統下水道按照五十年一遇的标準建造的，是很高的标準，隻是暴雨太大了。

可是™的都連續兩年被被水淹沒了。五十年一遇是騙人的吧。

如果市政部門解釋沒有騙人，那麼我們就來看看泊松分布吧。

• 泊松分布的公式及意義

首先，定位一下這個問題，50年一遇，是在很長很長的時間範圍裡面，這樣的暴雨平均50年發生一次。那麼問題是會不會每隔50年發生一次了，未必。有可能在兩百年之間是這樣的，前四年發生了一次，之後的196年一次沒發生。

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真正問題是，我們知道50年一遇是長期整體概率，但我們想知道的是，任何一段具體的，有限的時間内，比如5年之内，發生一次大暴雨的概率是多少？發生2次大暴雨概率是多少?發生3,4次了?任何你想知道大暴雨的次數，他們的概率分别是多少？

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這個問題其實是這樣的，抽象一下，我們知道一個随機事件發生的概率符合正态分布之後，那麼在某一段事件或者空間間隔内，這個随機事件發生的次數的概率分布是什麼？不是求整體發生率，而是求發生次數概率

大數學家泊松就發現了這個公式：

泊松分布的公式

用語言表達就是：随機事件發生K次的概率，等于lambda的k次方除以k的階乘，在乘以自然底數e的負lambda次方--據說這個公式可以進最美數學公司排行榜的前十名。

lambda：是整體概率與要求解問題匹配之後對應的數值，這個數值是跟我們的問題聯動變化的。整體概率是50年一次，也就是1/50，如果我們想知道接下來50年這個時間段暴雨次數的概率分布，那麼lambda就是1，如果我們想知道100年，那麼lambda那就是1/50*100，相應就變成了2.如果是5年，那麼就是1/50*5,這個數值就是0.1

如果k=0，那就是接下裡50年，1次暴雨不發生概率是帶入公式計算之後的37%；k=1，也是37%；k=2，概率是18%。

接下來我們關心的是：50年發生2次和2次以上50年一遇大暴雨概率是多少，也就是1減去發生0次的概率和發生1次的概率，1減去37%，再減去37%，答案是26%。

這麼一看市政部門的解釋是合理的。

• 泊松分布的數學性質

數學性質一：泊松分布是正态分布的一種微觀視角，是正太分布的另一種面具。

如果我們不斷計算各種事件間隔和大暴雨不同 發生次數的概率，畫在一起泊松分布的曲線就越來越像正态分布。分别計算，50年，100年，200年，300年發生“50年一遇暴雨的情形，看起來就是正太分布了。

數學性質二：泊松分布間隔是無記憶性的。

不是說泊松分布是無記憶行動，而是泊松分布的間隔無記憶。無記憶就是之前的情況對之後的情況沒影響，間隔的無記憶就是指的，前一間隔中随機事件是否發生對後一間隔中随機事件是否發生沒有影響。在大暴雨這個例子中，如果去年發生一次大暴雨，那麼今年發生大暴雨概率會變成多少？我們直覺是，剛發生了一次，接下來不會發生了，但是其實不是這樣的。他們是相互獨立的。

• 打開統計推斷的大門

統計推斷是什麼意思？

如果我們城市兩年都發生大暴雨不是一個小概率事件，那麼我們城市建造是沒問題，問題在哪裡，就是數據太少我們沒有1000年的降雨資料，就算是1000年也很少。于是我們就要換一個思路。

物理學家解決放射性物質半衰期，不是盯着一個原子看，因為時間太長了，數據太少，一個完整半衰期也沒有，怎麼辦？假設半衰期服從正太分布，那麼怎麼驗證了？（半衰期服從正太分布，完全理解不了啊）

找一堆原子，統計一下在幾個确定時間間隔中，這堆原子發生了多少次衰變，隻要這個數字服從泊松分布，反過來就證明原子的衰變服從正太分布。

--是不是很難理解。恩，我也覺得。統計數據和概率論中概率分布的結合。

概率研究是未發生的随機事件，統計描述已發生的現實，最開始隻有描述統計，但是沒有推斷統計，泊松分布開啟了推斷統計的大門。

• 寫在後面的話

其實難點在于還是不全面，很多概念其實沒有理清楚，現在回想一下，到底什麼是随機了？

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