茂名“二模”的填空壓軸題很有意思，用“切線放縮”易解，用“構造大法”亦可，但都不外乎“參數分離”的基本思想，這兩種方法的詳解過程均在答案中，不過多說明了。

下面，我重點來說一下“分而治之”的函數思想解題方法！

對于某些函數，其圖形是有凹、凸之分的，凹函數有極小值、凸函數有極大值，如果這個極小值不小于那個極大值，就有好戲看啦。

簡而言之，有兩個函數，一上一下，一凹一凸，上面的為凹函數(簡稱“上函數”)，有極小值，下面的為凸函數(即“下函數”)，有極大值，需要分别求出極值來再作比較，即為“凹凸反轉，分而治之”法！

對于凹函數和凸函數的選取，也是有一定講究的，即極值點存在且易求。

常用作凹函數模型的有:e^x/x，x/lnx，x－lnx，xlnx等及其同構函數，它們有極小值;常用作凸函數模型的有:lnx/x，x/e^x，sinx/x，sinx/e^x等及其同構函數，它們有極大值。

用“凹凸反轉，分而治之”來解導數題，就要設法向凹凸函數方面轉化，尤其是凹函數(即上函數)的選取往往在解題中起着關鍵的作用。

我們來看第16題的解析——

解法3.“凹凸反轉，分而治之”法:

由于f(x)≥g(x)，即x²＋e^x≥(m²＋1)x＋lnx，因x>0，故有x＋e^x/x≥m²＋1＋lnx/x。

(思路方向:e^x/x為凹函數，lnx/x為凸函數，可凹凸反轉，分而治之矣。)

即得，e^x/x≥m²＋1＋lnx/x－x。

(注意:lnx/x－x的凹凸性與lnx/x的相一緻，将lnx/x－x的圖象向上平移m²＋1個單位就能得到m²＋1＋lnx/x－x的圖象。)

可令h(x)=e^x/x，p(x)=lnx/x－x，則有:

①h'(x)=e^x(x－1)/x²，顯然，h'(1)=0。

當x∈(0，1)時，h'(x)<0，即此時h(x)單調遞減;當x∈(1， ∞)時，h'(x)>0，有h(x)單調遞增。

則，當x=1時，h(x)有最小值，即h(x)min=h(1)=e。

②p'(x)=(1－lnx－x²)/x²，顯然，p'(1)=0。

當x∈(0，1)時，因lnx<x－1，有1－lnx－x²>1－(x－1)－x²=x－x²=x(1－x)>0，即p'(x)>0，則p(x)單調遞增;當x∈(1，＋∞)時，有p'(x)<0，則p'(x)單調遞減。

則，當x=1時，p(x)有最大值，即p(x)max=p(1)=－1。

因此，由凹函數h(x)和凸函數p(x)的簡單示意圖可知，要使f(x)≥g(x)，即h(x)≥m²＋1＋p(x)，則p(x)的圖象向上平移時的最大值為e＋1，即m²＋1≤e＋1，從而可得－√e≤m≤√e，即m∈[－√e，√e]。

反饋:“凹凸反轉，分而治之”是解決函數問題的一種法寶，上函數的選取尤其重要，常見的凹、凸函數要熟悉！

附:分而治之的原理——

數學如此有趣，方法同等重要！

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