幾何圖形存在性問題是中考二次函數壓軸題一大常見類型，等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列從等腰三角形開始，逐一介紹各種問題及常規解法．

01

問題與方法

【問題描述】

如圖，點A坐标為（1,1），點B坐标為（4,3），在x軸上取點C使得△ABC是等腰三角形．

【幾何法】“兩圓一線”得坐标

（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；

（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；

（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB．

【注意】若有三點共線的情況，則需排除．

作圖并不難，問題是還需要把各個點坐标算出來，可通過勾股或者三角函數來求．

C3、C4同理可求，下求C5．

顯然垂直平分線這個條件并不太适合這個題目，如果A、B均往下移一個單位，當點A坐标為（1,0），點B坐标為（4,2）時，可構造直角三角形勾股解：

而對于本題的C5，或許代數法更好用一些．

【代數法】表示線段構相等．

方法總結

幾何法：

（1）兩圓一線作出點；

（2）利用勾股、相似、三角函數等求線段長，由線段長得點坐标．

代數法：

（1）表示出三個點坐标A、B、C；

（2）由點坐标表示出三條線段：AB、AC、BC；

（3）分類讨論①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；

（4）列出方程求解．

題型概括：

（1）兩定一動：動點可在直線上、抛物線上；

（2）一定兩動：兩動點必有關聯，可表示線段長度列方程求解；

（3）三動點：分析可能存在的特殊邊、角，為突破口．

02

“兩定一動”類

2018泰安中考

【動點在對稱軸上】

如圖，在平面直角坐标系中，二次函數y=ax² bx c交x軸于點A（-4,0）、B（2,0），交y軸于點C（0,6），在y軸上有一點E（0,-2），連接AE．

（1）求二次函數的表達式；

（2）若點D為抛物線在x軸負半軸上方的一個動點，求△ADE面積的最大值；

（3）抛物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐标，若不存在請說明理由．

【補充】“代數法”用點坐标表示出線段，列方程求解亦可以解決．

2019白銀中考删減

【動點在斜線上】

如圖，抛物線y=ax² bx 4交x軸于A（-3,0），B（4,0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限内抛物線上的一個動點，點P的橫坐标為m．

（1）求此抛物線的表達式；

（2）過點P作PM⊥軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐标，若不存在，請說明理由；

2019鹽城中考删減

【動點我以為在抛物線上其實還是在直線上】

如圖所示，二次函數y=k（x-1）² 2的圖像與一次函數y=kx-k 2的圖像交于A、B兩點，點B在點A的右側，直線AB分别與x、y軸交于C、D兩點，其中k<0．

（1）求A、B兩點的橫坐标；

（2）若△OAB是以OA為腰的等腰三角形，求k的值．

03

“一定兩動”類

2018貴港中考删減

【兩動共線型】

如圖，已知二次函數y=ax² bx c的圖像與x軸相交于A（-1,0），B（3,0）兩點，與y軸相交于點C（0，-3）．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）若P是第四象限内這個二次函數的圖像上任意一點，PH⊥x軸于點H，與線段BC交于點M，連接PC．當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐标．

2019眉山中考删減

【構造一線三等角】

如圖，在平面直角坐标系中，抛物線y=-4/9x² bx c經過點A（-5,0）和點B（1,0）．

（1）求抛物線的解析式及頂點D的坐标；

（2）如圖，連接AD、BD，點M在線段AB上（不與A、B重合），作∠DMN=∠DBA，MN交線段AD于點N，是否存在這樣點M，使得△DMN為等腰三角形？若存在，求出AN的長；若不存在，請說明理由．

04

“三動點”類

2019葫蘆島中考删減

【從特殊角入手】

如圖，直線y=-x 4與x軸交于點B，與y軸交于點C，抛物線y=-x² bx c經過B，C兩點，與x軸另一交點為A．點P以每秒根号2個單位長度的速度在線段BC上由點B向點C運動（點P不與點B和點C重合），設運動時間為t秒，過點P作x軸垂線交x軸于點E，交抛物線于點M．

（1）求抛物線的解析式；

（2）如圖，連接AM交BC于點D，當△PDM是等腰三角形時，直接寫出t的值．

附：tan22.5°的求法．

半角或者二倍角的三角函數值均可如此構造．

寫在最後

具體問題具體看，

不要想着一鍋端．

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