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​模型技巧-初中經典模型-經典體系

今天又來寫初中代數那些事兒了，今天寫的是方程，寫一寫一些常見的不常見的初中方程的相關知識。之前的兩期内容請去公衆号中查看。

01、方程中的概念

如圖：

初中學習的方程大多是兩類，但是滬教版是三類，多了一類無理方程

常見的四大方程，都被研究的比較透徹，會求一般情況下的解。

注意初中透徹學習的是可化為一元一次方程的分式方程

滬教版中額外出現了的方程：都不是一般情況下的方程，而是在比較特殊的情況下的方程，如下：

特殊的高次方程：

特殊的二元二次方程：

特殊的無理方程：

02、解方程的方法

方程不同解法也就不同，學方程就必學會解方程，因為方程是用來解決實際問題的工具。解不了方程，實際問題就沒法解決。

解方程的一般方式是變形！

這裡注意區分恒等變形和同解變形，有時候利用等式性質進行的變形，并不是同解變形。

當然最基礎的就是有一元一次方程的解法：小學學過，初中加強。

整個解方程的思想是轉化的思想，先學簡單的，再學複雜一點的，解的時候可以把複雜的化為學過的簡單情況去求解！比如分式方程和二元（多元）一次方程組，都是化為一元一次方程求解，當然一元二次方程其實也是可以通過因式分解和配方法，然後化為一元一次求解。不過總結出來公式以後就都不用别的了！包括滬教版的，高次方程，無理方程，二元二次方程組，也蘊含了轉化的思想。

03、有趣的問題

觀察下面的變化過程！

這是前幾天于特在群裡發的一個圖片，引起了老師們的讨論，最後為什麼會産生矛盾呢？其實就是同解變形的問題，明眼人能看的出來：

很多老師都發現了第五行的問題：

這是漏解了根，确實，但是一開始無實數根，這個1是怎麼多出來的呢？看下面：

現在看出來增根1是這時候産生的。

所以剛才說的，看是等量代換，其實不是同解變換。可能是因為代換式子中出現了平方，而平方具有擾亂正負的作用。

其實這個變形中還有一個問題，就是第二步也不是很嚴謹，在同除以未知數的時候沒有考慮其不為0，原式當中x是可以為0的，變形之後就不能為0了！

04、二元一次方程組的解

二元一次方程組的解，就是對應的兩個一次函數圖像的交點的倆坐标。

如圖：（唯一解）

直線平行（無解）

直線重合（無數解）

05、分式方程的增根

分式方程在變形過程中也不一定是同解變形，也有可能會産生增根。

增根和無解是不一定相關的，也不是毫無關系，因增根而無解的也有很多！

06、配方法推公式法

一元二次方程的求根公式其實是配方法推出的，書上有。可以推推試試，提前熟悉一下字母倒來倒去。高中經常要算字母。

注意最後這一步，根據前文，先平方再開方，是等于絕對值的，但是因為外面是“加減号”所以絕對值也就沒什麼存在的必要 了！

根據公式還可以推倒：韋達定理！

07、不等式（組）的解法

兩不等式取公共部分的順口溜。

常常借助數軸畫圖像：

尤其是多個不等式取解集時，看看橫線最多且等于不等式個數 的部分就是解集！

不等式求解過程的經典易錯點，注意正負，尤其是未知數的時候，要分類讨論正負，當然也可以借助後面學的反比例函數圖像！

08、參數問題

參數問題是有通法的：

用上面方法，試試以下的參數問題：

01

02

03

04

05

09、方程的應用

方程就是為實際問題而生的，還記得小學複雜問題的算數方法嗎？簡直是噩夢。

10、列方程的技巧

方程的解法雖然各有不同，但是方程的列法是統一的，體現一個方法：就是用字母表示數量。

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