三年級學生初學“周長”的重點是什麼

　　2018年12月1日星期六

　　本文主要續寫前文《“運動場”和“跑道”是一回事嗎》中的題（3）的辨析。

　　題（3）如下：

　　“

　　（3）一個封閉圖形上所有線段長度的總和就是這個圖形的周長。　（ ）

　　”

　　此題依然出現了“對”與“錯”的分歧。進一步對主張“錯”的原因進行梳理，又可分為兩類意見。為了下文叙述之方便，以“對1”、“錯1”、“錯2”指代三種觀點，指代詞不暗示任一觀點本身，因為每種觀點都是有價值的。本文亦不追求讀者劃一地接受其中某種觀點，更期望給予讀者取舍之幫助。

　　“錯1”方認為此題的錯誤在于“線段”一詞，若是改為“邊”，便是正确的。如下：

　　（3）一個封閉圖形上所有邊的長度的總和就是這個圖形的周長。　（ ）

　　這樣做的原因大抵有二：一是封閉圖形的“邊”不見得必是“直的”線段，也可以是規律的“弧線”，甚或是散漫的“曲線”；二是“邊”這個詞暗含了“外圍的”、“一周的”意思，緊扣“周長”的概念：封閉圖形一周的長度，是它們的周長。

多種多樣的封閉圖形

　　這種觀點将題（3）的考察重點引向“封閉圖形的辨識”。

　　“對1”方則認為：題（3）的考察重點應當是讓學生感悟“周長”的最基本的、最樸素的算法應當來自于“周長”概念本身，也即“單純地用加法”就可以完成計算。至于所謂“長方形、正方形的周長計算公式”：

長方形和正方形的周長計算公式

隻不過是窄範圍内的湊巧總結罷了，比如應用了“對邊相等”、“四邊相等”這樣的恰如其分的特點，大多情況并不見得如此。這種觀點将題目的關鍵詞鎖定在“所有”、“長度的總和”上。

　　長遠地來看，有價值的“周長計算公式”當屬“圓和橢圓的周長計算公式”。如下：

圓和橢圓的周長計算公式

　　（其中：a是橢圓的半長軸，b是橢圓的半短軸）

　　顯然，這是基于“曲線”的規律性和“曲線”的測量困難。兩條公式中都出現了神奇的圓周率π，且不論其是個什麼東西，單看其作用就夠讓人驚訝地“大吃幾斤”的：π溝通了“規律曲線”和“直線段”之間的關系，使得不便測量的曲線問題變為可以方便測量的直線段，比如圓的直徑、橢圓的長軸和短軸，突顯了“計算”的重要地位，因為“長度”單靠“測量”去完成，是存在短闆的。一個極簡單的例子是：地月距離就别指望用“尺子測量”出來。

　　“長方形和正方形的周長計算公式”的價值微乎其微，其隻不過是基于“基礎加法”的一種算法的簡化和優化。這樣的優化不具備更廣闊的生命力，且仍會使小學生在一定階段裡付出一些“代價”。令人頭痛的是，用乘法優化加法後，會掩蓋 “一維長度用加法，二維面積用兩個長度作乘法”的計算本質。常見的錯誤是：使小學生混淆“周長”和“面積”的計算，因為二者都有“乘法”參與，哪怕将歌訣“周長一條線，面積一整片”背得滾瓜爛熟，依然會執着地出現錯誤。以至于我突發奇想：“周長”就徹頭徹尾、老老實實地用加法計算吧，“算法優化、升級”一事，煩夠了，或許就會自我開竅。

　　（重要程度★★★★）

　　以下是兩個真實事例。

　　一是計算一個邊長為4厘米的正方形的周長。如果用：4×4，許多學生并不能回答出兩個“4”的不同意義，比如：一個4表示“正方形每條邊的長度是4厘米”，另一個4表示“有4條相同的邊”。或許，他們在“思維”上是理解的，但就是不會準确地組織語言，卡在了語言關上。但是，“我會想，隻是不會說”、“我明白，隻是說不出”，聽來似乎更像是笑話。如果改用：4＋4＋4＋4，提問“4個加數表示的意義相同嗎？”、“4代表什麼？”，則回答效果好了許多。但我并沒有進行“獨立、分組教育實驗”，或許“先問乘法後問加法”的提問方式亦帶來了許多幹擾和答題經驗暗示，準确效果難以量化。“同水平”學生樣本群體的選取、初學階段的時間點的把握、多次實驗等都是可以想到的困難。

　　二是一個罕見的個例，但對我觸動極深。一次家庭作業中，我布置了一道“測量并計算周長”的題，其中有一個是三角形。第二天，我發現一個學生唯獨把這個“三角形”的周長沒做，詢問得到的答案是：“我媽媽說三角形沒有周長計算公式，不能套公式計算。”這便是對“生搬硬套”的生動诠釋！亦讓我堅信：小學生初學“周長”的重點在于理解“周長”的概念，牢固樹立“一周長度之和”的核心理念，而不是将基于優化算法的公式，用應試訓練的手段做到極緻，颠倒本末，喧賓奪主。

　　（重要程度★★★★★）

　　“錯2”方的觀點最讓人迷惑。這種觀點認為：題（3）的錯誤出在方位詞“上”上。（呵呵，“上上”是誰？多别扭的讀法！）依據是細心的“錯2”方老師認為，這個方位詞“上”會加劇小學生對下面題型的誤解。

甘肅文化出版社人教三年級數學上冊配套練習：數周長

　　我稱呼題中的圖為“俄羅斯方塊”。所謂“誤解”是指學生錯誤地将“俄羅斯方塊”内部的橫豎邊線也數了進去，因為“上”字，似乎既包含了“四周”、“邊上”，又包含了“内部”、“裡面”。這種觀點最讓人稱贊的是：觀察問題的角度由“教材視角”（或“本本視角”）轉向“學生視角”。為師者“眼中有人”，設身處地地為學生着想，而不是高高在上，口若懸河，自我陶醉。

　　不過，我對這個觀點還是有點排斥，如果這樣糾結字眼，數學會變得越發讓人“恐怖”。

　　但，幾番語塞。

　　思索再三，憋出了兩條理由：

　　1.數學當中的方位詞使用并非如推想中的那般精确，比如：“向前一位進1”的說法，更準确地應當是“向高一位進1”，但教材中都認為是對的；

　　2.定義一個“封閉圖形”，是不用考慮圖形内部的邊線的。

　　（

　　附：

　　“上是一個漢字，拼音為shàng。下面的一長橫代表水平線，上面的一短橫是指示性符号，表示位置在水平線以上這一概念，屬指事造字方法。

　　上作名詞時，指事，解釋為高處；作動詞時，指垂直的動作，往上；做形容詞時，指高貴的，級别高的。”

　　——來源于“上_百度百科”

　　）

　　這兩條理由也是令人“恐怖”的。理由1将讨論延伸到“上”字的詞性、詞義，幹脆走進了語文學科；理由2又将“周長”的概念定義延伸至“封閉圖形”的概念定義。

　　（

　　再附：

　　“定義（Definition），原指對事物做出的明确價值描述。

　　現代定義：對于一種事物的本質特征或一個概念的内涵和外延的确切而簡要的說明；或是透過列出一個事件或者一個物件的基本屬性來描述或規範一個詞或一個概念的意義；被定義的事件或者物件叫做被定義項，其定義叫做定義項。

　　一般地，能清楚的規定某一名稱或術語的概念叫做該名稱或術語的定義。”

　　——來源于“定義_百度百科”

　　）

　　“上”字的語文引申就此打住，那麼什麼是數學概念“封閉圖形”的定義呢？

　　（

　　再再附：

　　“封閉圖形是指在所在維度中處于封閉狀态的圖形，如平面圖形中的三角形、正方形等；在三維空間中的球體、正方體等。

　　封閉圖形是由n（n為正整數）條線段或弧組成的閉合圖形。

　　因此沒有被封閉的圖形（如在三維空間中的二面角）并不能被認為是封閉圖形。

　　然而在更高的維度中，圖形的封閉會被輕易突破。比如說在畫上的一個圓圈可以輕易圈住畫中人，但是這樣的禁锢對我們而言不存在，因為處于高維度的我們可以輕易跨出畫在低維度上的圈圈。”

　　——來源于“封閉圖形_百度百科”

　　）

　　封閉圖形的定義中的關鍵詞是“所處維度中的閉合圖形”。“閉合”一詞在平面中的形象理解是：将平面“圈出”或“挖出”了一個個的“窟窿”，而不論“窟窿”的中間曾經“補”了多少刀！

　　（重要程度★★★★）

　　下面的環形又讓我 “糾結”了許久……

圓環

　　一方面：圓環的周長=外圓的周長 内圓的周長=2πR 2πr=2π(R r)；

　　另一方面：圓環使得“封閉圖形一周的長度，是它們的周長”這句話當中的“一周”出現了矛盾，譬如有如下讨論：

圓環的周長磨課

　　我“糾結”不已！

　　最終，我以“平面内兩個封閉圖形的關系”來融合這個矛盾。以下簡言之，因為，此時足見距離“走火入魔”已不遠矣……

　　1.獨立的兩個封閉圖形：

　　2.兩個封閉圖形的點連接：

　　3.兩個封閉圖形的線連接：

　　對于這種“線連接”，人教版三年級數學上冊是出現過相應題型的：　

人教版三年級數學上冊第88頁第10題

　　4.兩個封閉圖形的交叉：

　　5.兩個封閉圖形的包含：

　　圓環同5。這種關系也被稱為封閉圖形的“鑲嵌”。

　　由一個簡單的題出發，經曆了讨論、辯駁、查閱、參考，引申出了衆多的劇情，可謂“一去二三裡”！幸好，回來了，沒有丢了自己。

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