在高中數學平面向量中，會遇到一種題目，這種題目的解題方法需要用到“奔馳定理”。為什麼叫“奔馳定理”呢？這是因為這個定理所在的幾何圖形類似于奔馳車标，所以被戲稱為“奔馳定理”。

“奔馳定理”會用到哪些地方？

在平面向量中，遇到以下類型的題目時，就可以考慮是否能用“奔馳定理”來解題：

（1）遇到和三角形“四心”相關的題目時；

（2）遇到三角形中的面積比值，且題幹條件中含有向量時。

以上兩種題目，都可以考慮使用“奔馳定理”。

下面我們來看一下“奔馳定理”的兩種證明思路。

一、奔馳定理

奔馳定理的推廣：如果P不在三角形内呢？

既然有向量，那麼我們可以給面積也定義方向，當然有向面積不是向量，隻是有正負，内部為正，外部為負。因為沒有想出合适的符号，所以用了向量的符号。

例如在三角函數定義時，三角函數線是有向線段，x軸上方為正，下方為負。

如圖3，已知P為平面内一點，則:

溫馨提示：在涉及到用“奔馳定理”求解的題目，一般都是選擇題或者填空題，所以同學們在遇到這種題型的時候，就可以直接使用定理的結論來解題即可。因為選擇題或者填空題要求的是最終答案。

在遇到大題裡面含有奔馳定理時，這個時候，可以先适當證明一下“奔馳定理”，然後再使用這個定理，這樣的話，在解題當中，就能夠拿滿分啦。

二、和奔馳定理有關的結論

“奔馳定理”不是單一的定理，這個定理還有一些其他的變式，大家記住這些變式定理，那麼在涉及到相應題型的時候，都可以很快速的解答。

1、奔馳定理的推論

這個定理的含義，就是相應的三角形面積之比，就是對應邊向量的系數之比。直接記住結論，選擇題、填空題直接秒殺填答案就行。

2、有此定理可得三角形四心向量式

重心：三角形頂點與對邊中點的連線交于一點,稱為三角形重心。

中心：正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，稱為正三角形的中心。

奔馳定理是三角形四心向量式的完美統一！！！

3、幾何圓裡面的奔馳定理

這個圖形就很完美了，和奔馳車标相差無幾。同時，相應的角和邊的關系，在向量的應用下，也一目了然，記住這個結論，做題的速度就會飛起來！

4、三角形“四心”的相關向量問題

一．知識梳理：

四心的概念介紹：

(1) 重心：中線的交點，重心将中線長度分成2：1；

(2) 垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直；

(3) 内心：角平分線的交點（内切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；

(4) 外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等。

案例和例題分析：

l 四心的相互關系

三、和奔馳定理有關的題目

例1：

思考過程：這個題目，猛地一看，不是“奔馳定理”的原版，那麼就需要簡單的化簡一下。通過移項、運算、化簡，就得到了完美的“奔馳定理”，然後注意每一個邊前面的系數，以及所對應的三角形的面積，通過運算系數之間的關系，就可以輕松解出答案。

注意，對很多數學題目來說，都要經過“化簡”這一個步驟，化簡的思想很重要啊！

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