二階常系數線性非齊次解方程-tft每日頭條

二階常系數線性非齊次解方程

生活更新时间:2025-04-20 08:54:52

二階常系數線性非齊次解方程（二階常系數齊次線性方程通解推導）1

歐拉恒等式

二階微分方程明顯比一階難了很多，下面三圖詳細地對二階常系數齊次線性方程的通解進行了推導。

二階常系數線性非齊次解方程（二階常系數齊次線性方程通解推導）2

二階常系數線性非齊次解方程（二階常系數齊次線性方程通解推導）3

二階常系數線性非齊次解方程（二階常系數齊次線性方程通解推導）4

有幾下幾點需要注意：

1、理解思路。

求二階常系數齊次線性方程的解，一開始是靠猜的，因為以e為底數的指數函數，不論多少次求導，相差的都是常數系數，天然符合二階常系數齊次線性方程。所以，我們先假定方程的解是一個e為底的指數函數，然後代回原方程反解出來這個函數，那麼這個函數就是方程的解。

2、特征方程。

特征方程是假定好方程的解然後代回方程反解過程中産生的，因為方程是二階的，所以出現了一個二次方程作為特征方程。

3、常數變易法。

當特征方程有兩個相同實根的時候，相當于隻求出了一個原方程的特解，所以需要使用常數變易法來再求一個特解。常數變異法簡單說，就是把解中的常數換成函數，代回原方程反解出來這個函數，從而得到方程的解。一句話，猜解的結構，然後代回原方程反解出這個結構中未知的部分，得到方程解。

4、歐拉公式。

指數為複數的運算就得靠它了，著名的歐拉恒等式就能從它推導出來（彩圖中的等式）。這是第一次在學習中涉及它。

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