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平面向量與三角形的三心問題

生活 更新时间:2024-12-20 19:57:24

要高考了,“臨時抱佛腳”有之,“放飛自我”有之,“恣意妄為”有之,“渾然不顧”有之……緩解壓力,使盡渾身解數。

高考有多恐怖?

你去了,就知道了。反正不是你想的那樣,也不是别人所說的那樣。能夠描述的恐怖都不叫恐怖。我總是用道理說服自己,加上反應遲鈍,所以從未感知到恐怖的垂青。隻記得,“金戈鐵馬,氣吞萬裡如虎”。

1 圍觀

一葉障目,抑或胸有成竹

平面向量與三角形的三心問題(第二百四十七夜)1

第2問有意思,結構對稱、形式優美——這便是一眼相中的原因。

解三角形結合平面向量,地方卷中司空見慣,全國卷中卻鮮有涉及。地方卷的命題者或多或少會加入到全國卷的行列,所以你懂的。

這未免危言聳聽,但“風雨多變幻,出門早看天”總是沒錯的。

2 套路

手足無措,抑或從容不迫

平面向量與三角形的三心問題(第二百四十七夜)2

第1問,樣子像餘弦定理,所以不由自主地往上靠,手到擒來。

送分是個技術活,既不能明目張膽,也不能鬼鬼祟祟。前者凸顯水準,後者檢驗人品,所以繞個彎便是柳暗花明。

第2問,化簡目标,正弦定理代換為三角函數的有界性。需要注意的是,角B的限制不單隻考慮角B,還要結合角C才能确保完備。

平面向量與三角形的三心問題(第二百四十七夜)3

法2的思路來源于封閉三角形與三數和的平方。然後,同樣利用正弦定理轉化為三角函數的有界性,剩下的與法1并無二緻。

上述方法看似高屋建瓴,實則大炮打蚊子,得不償失。我寫出來,無非是說明,這也是一種可能。

平面向量與三角形的三心問題(第二百四十七夜)4

法3,直接利用數量積的定義,将目标轉化為邊角關系。接下來可從餘弦定理或射影定理出發,化角為邊。

射影定理亦稱之為“第二餘弦定理”,在計算中,往往一劍封喉。化簡後,考慮臨界值,恰好是兩個極端——等邊三角形和直角三角形,由此求得結果。

3 腦洞

浮光掠影,抑或醍醐灌頂

事實上,本題是一道典型的“定弦定角模型”。

如圖,邊BC的長度一緻,角A的大小不變,則角A在單位圓O上運動。又三角形ABC為銳角三角形,則角A在劣弧A1A3上運動(不含端點)。當角A位于點A1或A3時,目标值最大;當角A位于弧A1A3的中點A2時,目标值最小。

平面向量與三角形的三心問題(第二百四十七夜)5

4 操作

形同陌路,抑或一見如故

平面向量與三角形的三心問題(第二百四十七夜)6

平面向量與三角形的三心問題(第二百四十七夜)7

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