數的整除
數的整除問題，内容豐富，思維技巧性強。它是小學數學中的重要課題，也是小學數學競賽命題的内容之一。
一、基本概念和知識
1.整除——約數和倍數
例如：15÷3=5，63÷7=9
一般地，如a、b、c為整數，b≠0，且a÷b=c，即整數a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整數而沒有餘數（或者說餘數是0），我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）。記作b｜a.否則，稱為a不能被b整除，（或b不能整除a），記作ba。
能被30以下質數整除的數的特征
大家知道，一個整數能被2整除，那麼它的個位數能被2整除；反過來也對，也就是一個數的個位數能被2整除，那麼這個數本身能被2整除。因此，我們說“一個數的個位數能被2整除”是“這個數能被2整除”的特征。在這一講中，我們通過尋求對于某些質數成立的等式來導出能被這些質數整除的特征。
為了叙述起見，我們把讨論的數N記為：
我們已學過同餘，用mod 2表示除以2取餘數，有公式：
① N≡a0（mod 2）
② N≡a1a0(mod 4)
③ N≡a2a1a0(mod 8)
④ N≡a3a2a1a0(mod 16)
這幾個公式表明一個數被2（4，8，16）整除的特性，而且表明了不能整除時，如何求餘數。
此外，被3（9）整除的數的特征為：它的各位數字之和可以被3（9）整除。我們借用同餘記号及一些運算性質來重新推證一下。如（mod 9），如果：
N= a3a2a1a0 = a3×1000＋a2×100＋a1×10＋a0
= a3×(999＋1)＋a2×(99＋1)＋a1×(9＋1)＋a0
= (a3＋a2＋a1＋a0)＋(a3×999＋a2×99＋a1×9)
那麼，等式右邊第二個括号中的數是9的倍數，從而有
N≡a3＋a2＋a1＋a0(mod 9)
對于mod 3，理由相仿，從而有公式：
⑤ N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0) (mod 9)
N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0) (mod 3)
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