線性代數的教材中，有兩處着重提到過n維向量，一處是n維向量的定義：

n個有順序的數所組成數組

叫做n維向量。數叫做向量的分量（或坐标）。

另一處是n維向量内積的定義：

設有n維向量

令，

稱為向量與的内積。

注意看，兩種n維向量在形式有什麼不同？一種寫成行矩陣，一種寫成列矩陣，對不對？

那麼，各取一組3維向量，每組3個向量，按同樣的編号方式寫出它們的矩陣，會有什麼不同呢？一起來看一下。

第一種向量，3個3維向量分别為：

，

，

。

它們組成的矩陣為：

第二種向量，3個3維向量分别為：

它們組成的矩陣為：

看出什麼端倪來沒有？從形式上看，矩陣A的行即是矩陣B的列，兩個矩陣互為轉置矩陣。顯然橫着寫的向量和豎着寫的向量不是一回事。

那麼問題來了，兩種向量之間有什麼關聯嗎？

要想探究兩種向量之間的關聯，最簡單的辦法，是寫出與它們同時具有關聯意義的行列式，再看看它們的行列式有什麼不同。

那麼怎麼樣去找與兩種向量都有關聯的行列式呢？由于行列式的元素的基本含義是某一多元線性方程組的系數，那我們根據上面的兩種3維向量組，分别寫出對應的齊次線性方程組（各方程右端均為0，對應向量的内積為0）就好了。

在教材中，第一種向量的引出，是為“線性相關”這一概念作準備的，那我們就從這裡入手。

我們先看一下線性相關的定義：

設有n維向量組,如果存在一組不全為o的數,使

,則稱該向量組線性相關。

（注意一下編号的下墜字母m，通常我會用它來表示“行”）

根據線性相關的定義，我們為第一種向量組

，

，

。

構建齊次線性方程組。

為了編号形式一緻，設存在一組不為全0的數，使。即

将字母對調一下，即為

提取的系數作為元素，有行列式：

的行列排序對照矩A，行變成了列，列變成了行，反而跟矩陣B長得一樣了。

第二種向量的引出，是為“向量的内積”這一概念作準備的，向量的内積為0時，恰好對應齊次線性方程組（等号右端都為0）。

設存在非零向量（)’，與向量

的内積均為零，則有

提取的系數作為元素，有行列式：

的行列排序對照矩B，也是行變列，列變行，跟矩陣A排序相同。

可以看出來，兩個行列式，也隻是行列互換，計算結果是一樣的，。這說明兩組向量所構成的向量空間是等價的，換句話說，一個向量空間可以用兩種方式來表達。

對于一個向量空間，我們可以這樣看待它：它有n個維度，對應線性方程組有n個未知數；在這n維空間裡有m條向量線段，對應方程組包含m個方程。對應到行列式裡m為行，n為列。

取一個向量的分量（或行列式的元素）,它的下标是i、j，誰也沒有規定i=m、i=n吧！所以，i可以在m裡取值，也可以在n裡取值，j同理。這樣，就産生了兩種不同的向量。

當i在n裡取值時，表示在第i個維度裡，第j條向量線段在其維度軸線上的投影坐标；鎖定i，得到第一種向量，表示在一條維度軸線上，記錄下所有向量線段的投影坐标。那麼，不同維度軸線上的坐标線性關聯嗎？于是我們在此基礎上讨論線性相關或線性無關。

當i在m裡取值時，代表第i條向量線段在第j個維度軸線上的投影坐标；鎖定i，得到第二種向量，表示一條向量線段在所有維度軸線上的坐标。既然得到一條向量線段的所有坐标，自然就是用來求内積的。

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