導數的由來和發展曆程?微分中值定理定理1：費馬引理：，今天小編就來聊一聊關于導數的由來和發展曆程?接下來我們就一起去研究一下吧!

導數的由來和發展曆程

微分中值定理

定理1：費馬引理：

如果函數在一點可導，并且在該點取得極值，則導數為0

根據圖像比較容易得出結論

定理2：羅爾定理：

如果函數在閉區間連續，開區間可導

兩端點值相等，則可以證明至少存在一點導數為0

證明：

方法一，幾何明顯

方法二，一定存在最小值m,最大值M

m==M，則可以證明導數處處為0

m < M，又根據兩端點值相等，則至少有一個值是在區間内部，且為極值點，所以可以證明導數為0

定理3：拉格朗日中值定理：

上述條件下，一定存在一點導數值等于兩點連線的斜率

定理4：柯西中值定理

存在兩個函數滿足上述條件，則一定存在一點的兩個函數的導數值為兩點函數的差值

證明：可以将y,x當做對t的參數方程，按照拉格朗日進行求導

三個微分中值定理

意義：建立函數和導數之間的關系

羅爾定理是拉格朗日定理的特例，拉格朗日是柯西中值定理的特例

但後面兩個都是羅爾定理構建輔助函數得出的結論，羅爾定理反而是重點

泰勒公式

泰勒公式意義

建立函數和高階導數的連接

把函數用多項式逼近

兩種餘項的泰勒公式

皮亞諾餘項

拉格朗日餘項

區别：

條件不同，皮亞諾餘項要求n階可導，拉格朗日餘項要求n 1階可導

關于餘項不同，皮亞諾餘項的餘項隻能保證在x趨向x0的時候，與x0的差值n次方會是無窮小

拉格朗日餘項則是存在一點介于x和x0之間在展開之間（中值定理）

皮亞諾餘項是要求局部形态，适用于極限，極值

拉格朗日餘項要求整體形态，用于求最值，不等式

常用五個泰勒公式

導數的應用

單調性：

根據導數的正負性就可以判斷區間内導數的增減性

函數的極值：

在局部形态下，如果鄰域内恒有大于或者小于該點值，則說明在該點取得極值

定理8：極值的必要條件

如果可導，取得極值，則導數為0

将所有導數為0的點稱作駐點

因為是必要條件，所以駐點不一定是極值；但對于可導函數而言，極值一定是駐點

所以極值的取值範圍，隻可能是駐點or導數不存在的點

因為駐點是極值是必要條件所以

定理9：極值的第一充分條件（可判斷第一種或者第二種可能的極值）

如果該點鄰域可導，在該點兩邊一階導數變号，且該點可導或者不可導但連續；

則該點為極值點

定理10：極值的第二充分條件（隻能判斷第一種，且要求二階導存在）

駐點的二階導數不為0，則一定是極值點

如果二階<0為極大值

如果二階>0為極小值

函數的最大最小值

找連續函數的最值

第一步：求出駐點和不可導點（可能的極值點）

第二步：然後比較他們和端點的函數值

如果極值點是唯一的，則如果是極大則為最大，如果極小，則為最小

如果是應用題，需要建立目标函數

曲線的凹凸性

二階導數如果>0，則是凹的；如果<0，則是凸的

一階導數判斷函數的增減性，二階導數判斷函數的凹凸性

拐點：端點兩端二階導數變号，注意：拐點一定是曲線上的點，一定要用兩個坐标去表示

極值點可以是x軸上的點,x=具體的數

如何判定是否是拐點

極值點一個必要兩個充分對應

曲線的漸近線

1）水平漸近線：最多兩條

2）垂直漸近線：可以有無窮多條，分母為0

3）斜漸近線：

函數作圖

确定定義域

求一階導數

求二階導數

求漸近線

曲線的弧微分與曲率

曲率：K = |y’’|/(1 y’2)(3/2)

曲率半徑：R = 1/K

基本題型

函數靜态：研究函數的極值，最值，确定曲線的凹凸和拐點

求漸近線

求方程的根

不等式證明

中值定理以及證明題

一、研究函數的極值，最值，确定曲線的凹凸和拐點

極值隻可能是導數為0或者導數不存在的點

如何判斷：

左右導數是否變号

二階導數是否!=0

導數不存在且為極值的條件是該點必須連續

有關分段函數在分界點上是否為拐點或取得極值，隻需要要求函數連續，然後判斷左右導數是否異号即可

二、漸近線

斜漸近線需要将函數寫成ax b O(x)的形式，後面趨向于無窮小

三、方程的根

通常寫成f(x) = 0，然後計算有多少個根

題型：

方程根的存在性：

零點函數定理，左右端點異号

羅爾定理，找到fx的原函數，帶入左右端點都是0，然後求導可知fx存在一點取得0

根的個數：

單調性：這樣就能确定隻有一個

羅爾定理的推論：如果n階導數不為0，最多有n個零點

四、不等式的證明

單調性：将所有式子移到一邊，然後求導，得出FX恒大于0，可以求解

拉格朗日中值定理：通常用于兩點之差的式子

最大最小值定理：最小值大于0

兩個重要結論

sinx < x < tanx

x/(1 x) < In(1 x) < x

(采用中值定理證明)

五、中值定理的證明題

習題推導，如果在一段區域内n個值相等，可以證明至少存在n-1導數為0

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