——用樣本的數字特征估計總體數字特征（第1課時）課例賞析

王 丹（湖北省鄂南高級中學）

周遠方（湖北省教育科學研究院）

摘要：本課例是一個集概念性、探究性和應用性于一體的教學案例．圍繞制定節水标準問題，在利用直方圖估計衆數、中位數、平均數（簡稱“三數”）的過程中，引導學生分組探究、合作交流、自主決策，逐步完善解決問題的途徑，在層層探索之中暴露學生的思維過程，激發學生的探究欲望，培養學生的統計思維．

關鍵詞：直方圖；樣本估計總體；數字特征；統計思維

一、引言

本節課内容是一節典型的概念課，是在前面已經學習了抽樣方法、用樣本的頻率分布估計總體分布的基礎上，為了更好地把握總體的規律，進一步挖掘樣本，利用樣本的數字特征來估計總體的數字特征，從而作出更好的決策，以解決實際問題．這樣，既能幫助學生逐步建立用樣本估計總體的統計思想，又能提高解決實際問題的能力．

3.1

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問題1：理論上抽取100個樣本數據是遠遠不夠的，但為了課堂上計算的方便，我們隻抽取了100個樣本數據.上節課已經繪制出了相應的頻率分布直方圖（圖1），能否從直方圖中直接提取樣本數字特征呢？進而用樣本的數字特征估計總體的數字特征．

展示與交流1：

生5：我們小組算出的衆數是2.25t，也就是最高小矩形底邊的中點（圖2）．大家有沒有意見？

生5：因為衆數是一組數據中出現次數最多的數，也就是出現頻率最高的數，而在直方圖中，每個小矩形的面積表示相應小組的頻率，所以衆數出現在最高的小矩形中．

生6：為什麼取中點？衆數隻是集中在2～2.5這一段上，但并沒有說就是2.25．

生5：是的，2～2.5這一段上的其它值也有可能成為衆數，但2.25這個中間值更具代表性．

生6：有道理．

生5：還有其他意見嗎？

生7：我認為衆數不一定落在2～2.5這一段上．

生5：能舉個反例嗎?

生7：萬一集中在2～2.5中的數據很分散，比如2.01，2.02，2.03…，總之沒有兩個一樣的，而在1.5～2這一段中卻始終是1.7，雖然2～2. 5這一段的數據還是比1～1.5這一段的數據多，但衆數有可能落在1.5～2中，這樣你們判斷的衆數可能就會失誤．

生5：那我下去以後再想一下。

師：大家的讨論非常精彩．有的同學可能還不理解生７的說法，我們來看這樣一組樣本數據（單位t）：1，3，3，3，3，5，5，5，6，6，以2為組距，制出相應直方圖（圖3），按照生5的說法，由直方圖求出的衆數落在4～6這一段上，為5t；而按照生7的說法，樣本的衆數為3t，落在2～4這一段上．

生8：這種情況是怎樣造成的呢?

生9：主要原因是直方圖丢失了原來的具體數據，求出的隻是衆數的估計值．

生8：我們能減少誤差嗎?

生9：可以，由樣本制取直方圖的過程中，縮短組距．

生8：能完全避免誤差嗎?

生9：不可能．

生8：那我們為什麼還要從直方圖中計算樣本的衆數呢?

生9：因為直方圖能夠很容易地表示大量數據，非常直觀地表明樣本的分布形态，使我們能夠看到在分布表中看不清楚的數據模式．另外，由直方圖求衆數也比較快捷．

師：那我們現在選哪一個作為衆數好呢?

生10：還是選2.25，這符合我們大多數人的習慣．

師：大家的意見呢？

生：取2.25．

師：那我們就取2.25作為衆數．通過上面的讨論過程，我們發現由直方圖求出的衆數是一個估計值，可能會有偏差．我們将衆數看作直方圖中面積最大矩形的“中心”，它是一組數據的最大集中點，此時它告訴我們，鹹甯市城區月均用水量為2.25t的居民數比月均用水量為其他值的居民多，但它并沒有告訴我們多多少，所以，我們有必要通過直方圖考察其他兩個數字特征．

探究2：如何在頻率分布直方圖中估計中位數？

生14：還是和前面一樣，樣本頻率分布直方圖丢失了原來的樣本數據，得到的是樣本中位數的估計值．

師：大家确實開動了思維．我由直方圖算出的結果與生11是一樣的，請大家看一下，中位數約為2.02t．在圖4中，虛線代表居民月均用水量的中位數的估計值．其左邊直方圖的面積代表50個單位，右邊直方圖的面積也代表50個單位，可将中位數看作整個直方圖的“中心”．總之，樣本的數字特征都可以由兩種途徑來計算，即直接利用樣本數據計算或用直方圖來估計，通過直方圖得到的估計結果精确度降低了，但是隻要在一定的精确度範圍内，這種不一緻在統計學中也是一種正常現象．為了更好地估計總體，我們還有必要通過直方圖研究樣本的平均數．

探究3：如何在頻率分布直方圖中估計平均數？

很有意思，在後面随機變量的學習中我們還會與它見面．此時，我們由直方圖估計出了樣本的數字特征．由此可估計鹹甯市城區居民月均用水量這個總體的數字特征分别為：衆數：2.25t；中位數：2.02t；平均數：2.015t。

【評析】讓學生由直方圖估計樣本的數字特征，由此以估計總體的數字特征，并讓學生體會統計思維與确定性思維的差異．

4．開放選擇，決策評價

問題2：若以這三個估計值為依據，讓你幫政府作出決策，标準a應定為多少？還是請大家讨論一下。

生17：因為衆數是一組數據中出現次數最多的數，根據少數服從多數的原則，我覺得以衆數2.25t作為标準a比較好．

生18：我覺得以衆數作為标準不妥，雖然衆數是一組數據的最大集中點，但也僅僅是相對而言，衆數隻反映了總體的一部分信息，無法客觀地反映總體特征．

師：那以誰作為标準合适呢?

生18：以中位數2.02t作為标準，因為中位數處于一組數據的中間，更具有代表性，另外中位數一般不受極端值的影響．

生19：我覺得以中位數2.02t作為标準也不好，雖然中位數一般不受極端值的影響，但也隻反映了總體的一部分信息．以平均數作為标準較好，因為平均數與每個數據有關，能更好地反映總體信息．

師：平均數就沒有缺點嗎?

生19：也有，平均數與每一個數據有關，受少數極端值的影響較大，若抽取的樣本質量不高，用樣本的平均數估計總體特征的可靠性降低，作出的決策也有可能是錯誤的．

師：确實如此，如在跳水比賽中，我們會将評委的量分去掉一個最高分，一個最低分，然後取其平均數作為選手的最後的得分．看來，同學們選擇與評價的理由都很充分，這三個數字特征各有優缺點，選那一個作為标準更合适?

生20：根據數字特征的優缺點，在抽取的樣本較合理的前提下，以平均數作為标準a相對要好一些，定為2.015t．

師：大家的意見呢？

生：選平均數作為标準．

師：确實，選平均數作為标準要更合适一些．它更能反映總體的特征（闆書）．下面請大家繼續思考問題3．

問題3：根據“三數”給供水公司提供城區居民月均用水标準各有利弊，那麼我們從統計意義給出的用水标準與實際定出的用水标準是否有差異？

生：有。

師：差異是什麼？

生21：實際用水标準還要考慮地域差異，居民基本素質，生活習慣等．

師：不錯，我們要理論聯系實際，這樣作出的決策會更合理！

【評析】通過合理選擇和決策評價，不僅讓學生弄清了根據統計數據如何合理決策的可能性，而且知道了三個數字特征的優缺點，更重要的是讓學生明确僅僅依賴統計數據決策是有風險的，還需要綜合考慮實際用水的一些客觀或主觀因素（如居民的基本素質、職業特點、生活習慣、經濟狀況等）從而作出合乎情理和切合實際的決策．

5．歸納小結，知識升華

讓學生歸納并展示如下知識與思想方法結構圖（圖5）.

【評析】歸納小結，實際上就是給了學生一個解決統計問題的鑰匙．學生的知識結構進一步完善，統計思想進一步升華．

6．質疑解惑，問題延伸

疑惑1：

生22：如果我們選擇另外一個樣本容量為100的樣本，由此所計算出的樣本數字特征一樣嗎？對總體數字特征的估計是一樣的嗎？

生23：不一樣，樣本變化了，樣本數字特征也會相應變化，對總體的估計不一樣．

師：由此可見，由于所抽取的樣本具有随機性，因此樣本數字特征也具有随機性，對總體的估計可能有偏差，故應盡量選擇有代表性的樣本．

疑惑2：

生24：在随機抽樣的前提下，如果我們選擇的樣本容量越來越大，樣本數字特征的變化會有規律嗎?

師：有沒有規律？

生：有！

生25：樣本數字特征會越來越接近總體的數字特征．

師：不錯，在随機抽樣前提下，樣本的數字特征随樣本容量的增加而穩定于總體相應的數字特征（總體數字特征是一定的，不存在随機性），這就是樣本數字特征的規律性．

問題4：對鹹甯市城區某兩個小區（人數大緻相等）的居民2014年前三個季度月均用水量進行了調查，通過随機抽樣，分别獲得了一組樣本數據：

甲：3，4，3，5，1，2，5，6，3，2

乙：5，3，3，4，3，2，4，2，5，3

兩個樣本的平均數相等嗎？兩個小區居民月均用水量是否就沒有什麼差異呢？

生26：兩個樣本的平均數相等，為3.4t，故兩個小區居民月均用水量無差異．

師：兩個樣本的平均數确實相等，但兩個小區居民月均用水量還是有差異的，這就是我們下一節課要學習的内容：标準差，請大家下去預習一下，下課．

【評析】給學生一點時間自由提問，随着問題的延伸，學生對樣本數字特征的性質有一定的了解，再次感悟統計思維與确定性思維的差異，同時學生的問題意識和探究精神會有所加強．

三、教學點評

數學是一門思維的科學，思維能力是數學學科能力的核心．統計學入門比較容易，但深入下去會非常困難，高中階段引入這門學科的知識，正是承載了為大學階段做好鋪墊的使命，本節課較好地完成了部分任務：

1．決策節水問題，凸顯知識主線

通過體驗用水标準的統計決策過程，很好地凸現了本節課的知識主線：抽樣－估計樣本的數字特征估計—估計總體的數字特征估計—作出決策，讓學生了解統計的一般過程．

2．解決實際生活問題，形成統計思想

制定居民月均用水标準的過程，實際上就是從一般到特殊，特殊到一般的過程，學生體會了統計歸納思想的重要性，統計思想在學生的頭腦中也會初步形成，思想線貫穿始終．

3．直方圖估三數，演繹數形結合

從頻率分布直方圖入手，結合三個數字特征的定義，能快速得到樣本的數字特征，進一步估計總體的數字特征．在此過程中，體現了數形結合的數學思想方法在解決問題過程中的事半功倍的效果此為方法線．

本節課作為概念應用課，知識、思想和方法三條線同時鋪開，線線交織，層層深入，體現了螺旋上升的學生認知規律．學生通過親身經曆，了解了用樣本數字特征估計總體數字特征的基本過程，出色完成了本節課的知識任務，并初步形成統計思想，達到思想暗線的延伸．在進行的過程中，學生遭遇用直方圖估計樣本數字特征的瓶頸，通過小組合作交流，數形結合思想方法的功效體現無疑，方法線在潛移默化中鋪設完成．最終通過對用水标準的決策，達到知識、思想、方法最後的合成與升華！

參考文獻：

[1]劉紹學. 普通高中課程标準實驗教科書×數學3（必修A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2010.

[2]周遠方，孫延洲. 高中課堂教學标準及教學實例[M]. 武漢：湖北教育出版社，2013.

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