四色定理指的是“在地圖上分塊塗色以區分相鄰地區的話，隻用4種顔色就足夠”的定理。看起來似乎不難理解，但人們曆經了124年的時間才證明了它。然而，其證明方法卻引起了廣泛的争論，甚至波及到哲學領域，并且給大衆留下了“證明到底是什麼？”這樣的問題……

定理、公理和公式的區别是什麼?

在解說四色定理之前，我們先來談談“定理”的意思。和定理相似的詞還有“公理”和“公式”。

公理指的是作為數學基礎的假設。例如，“由任意一點到另外任意一點可以畫直線”就是一個公理的例子（歐幾裡得《幾何原本》中的第1公設）。在公理的前提下推導出的事實被稱為定理，而對于用數學式來表示的定理又被稱為公式。

在數學裡，經常會聽到“○○問題”“△△猜想”這樣的說法，它們指的是尚未被證明的定理或者公式。美國的克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）宣布的“千禧年大獎問題”就非常有名。發布時總共有7個未解決的問題，每個問題都懸賞100萬美元。截至目前，其中隻有龐加萊猜想得到了證明。

四色定理在被證明之前，被稱為“四色問題”。那我們從這裡，也先把它稱為四色問題吧。對于定理和問題，如果能夠給出它是“正确的還是錯誤的”(真僞）之一的答案的話，又能被稱為“命題”。具體到四色問題，因為需要證明它的真僞，所以它也是一個命題。

四色問題是針對平面上繪制的地圖分塊塗色區分加以考慮的。使用現實中的地圖也可以，自己想象的地圖也可以。讓我們準備好紙和彩色鉛筆，按照自己的想法先畫地圖，再用彩色鉛筆試試進行分塊塗色區分吧。要注意，這時候相鄰的區域一定需要用不同的顔色填塗。但是，如果兩個區域隻有一個點相接的話，不被認為是相鄰區域。比如下圖所示的美國地圖裡，當州界呈十字交錯時，對角的兩個州用同一種顔色填塗是可以的。

那麼，你成功地用4種顔色分塊塗色區分了你所畫的地圖了麼？如果用了5種或者更多種顔色，那不是因為四色定理是錯誤的，而肯定是填塗方法出了問題。

另外，如果不是在平面上，而是對在像甜甜圈一樣的立體表面上繪制的地圖進行分塊塗色區分的話，最多需要7種顔色（下圖）。也就是說，對于在有空洞的立體表面上繪制的地圖分塊塗色區分，可能要用到超過4種顔色。不過，對于像地球這種沒有空洞的立體，其表面上的地圖分塊塗色，同樣隻需要4種顔色就足夠區分。

當考慮在像甜甜圈這樣有一個空洞的立體表面（環面）上繪制地圖時，對相鄰區域塗色區分最多需要7種顔色。此定理在1890年由英國數學家希伍德證明。

四色問題很快就被解決了？

四色問題是在距今大約170年前的1852年，由當時還是學生、後來成為數學家的弗朗西斯·格思裡（Francis Guthrie，1831～1899）提出的。他的弟弟、之後成為物理學家的弗雷德裡克·格思裡（Frederick Guthrie，1833～1886）知道了這個問題後，向他的老師、當時的英國數學家奧古斯塔斯·德·摩爾根（Augustus De Morgan，1806～1871）詢問了四色問題是否正确。

收到這個問題的德·摩爾根寫信向愛爾蘭的數學家、物理學家威廉·哈密頓（William Hamilton，1805～1865）詢問。但是，哈密頓的反應卻不冷不熱。四色問題在當時隻受到了包括德·摩爾根在内的數名數學家的關心。之後，德·摩爾根在問題得到證明之前就于1871年去世，四色問題也随之被世間暫時遺忘。

到了1878年，英國既是數學家又是律師的阿瑟·凱利（Arthur Cayley，1821～1895）在倫敦數學學會再次提出了這個問題，讓四色問題重見天日。此時，英國的業餘數學家艾爾弗雷德·肯普（Alfred Kempe，1849～1922）得知了這個問題，并很快就宣布解決了四色問題。

肯普獨創了被稱作“肯普鍊”的方法，并認為用這種方法能夠成功證明四色問題。相關論文在次年的1879年刊載于《美國數學期刊》。不過，雖然當時大家都相信他的證明正确無疑，但其實他的證明裡有一個重大的錯誤。在沒有人注意到這個錯誤的情況下，在十多年間大家都相信肯普的證明是正确的。

1890年，英國數學家珀西·希伍德（Percy Heawood，1861～1955）指出了肯普證明裡的錯誤。他也是證明了環面上的地圖最多隻需要7種顔色來填塗區分的人。希伍德雖然指出了肯普證明裡的錯誤，但是他也并沒能證明四色問題本身。取而代之的是，他利用肯普的思路，證明了在平面或球面上繪制的地圖，最多隻要有5種顔色就能填塗區分（五色定理）。

希伍德的指摘引起了大家的注意，就算正确性被深信不疑的證明也會出現錯誤。這之後，大家認識到四色問題是一個非常困難的問題，以至于在此後近百年間，四色問題一直讓數學家為之煩惱。

用“點”和“線”抽象思考地圖?

對于四色問題，實際上可以用一個很有效的方法來思考。首先，在由邊界線包圍的各個區域裡放置一個“點”，再把相鄰區域裡的點用線連接起來（下圖）。比起原本紛繁複雜的地圖，這樣抽象化後，理解起來能更加簡潔吧。像這樣隻利用點和線來表示各種“連接關系”的理論被稱為“圖論”，是一種對組合問題進行簡潔記述的有效手段。

在地圖的各個區域裡放置一個點，再把相鄰區域裡的點用線連接起來。像這樣，把物體的相鄰關系用點和線來表示的數學理論稱作“圖論”。

這樣的點線圖不太好直接塗色，取而代之的是對點賦予數字（0，1，2，3……）來标記。由于通過線相連的2個點表示相鄰的意思，所以不能賦予相同的數字。通過以上這般思考的話，四色問題就可以轉變成“對于在平面上繪制的點線圖，如果要給通過線相連的2個點賦予不同數字的話，4個數字（0，1，2，3）是否足夠”這樣的命題。

另外還有一點需要說明，在思考四色問題時，必須用到一個定理。這就是由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707～1783）提出的“多面體歐拉定理”。這個定理說的是，對于沒有空洞的多面體而言，頂點的數目和平面的數目相加，再減去邊的數目，一定等于2。例如，對于骰子這樣的立方體，頂點的數目是8，平面的數目是6，邊的數目是12，所以有8＋6－12＝2，也即符合多面體歐拉定理。

不僅如此，多面體歐拉定理對于平面地圖同樣适用。也就是說，對于平面地圖抽象而成的點線圖也能成立。在這種情況下，點的數目和由連線圍起來的區域的數目相加之後，減去連線的數目，結果即為2。如上圖中，點的數目是11，由連線圍起來的區域數目是7（所有連線之外的區域也算1個區域），連線的數目是16，所以11＋7－16＝2, 也驗證了多面體歐拉定理。

到1940年，通過基于多面體歐拉定理的方法，大家知道了對于由少于等于35個國家組成的地圖來說，隻用4種顔色就可以填塗區分了。

解決四色問題的手段

不過，四色問題需要證明的是，無論什麼樣的世界地圖都可以用4種顔色填塗區分。如果一個一個地去确認36個國家、37個國家、38個國家……的地圖，證明永遠不能确立。因為國家的數目可以無限增大。

因此，數學家開始嘗試假設“四色問題不成立”。如果四色問題不成立的話，那就一定存在用4種顔色不能填塗區分的地圖。基于這樣的假設來思考四色問題的話，如果找不到用4種顔色無法填塗區分的地圖，就能導出結果與假設相矛盾。如果确認矛盾的話，那就說明最開始的假設（四色問題不成立）是錯誤的。換句話說，四色問題就被證明是成立的。像這樣，為了證明某個命題而先假定這個命題不成立，并在此基礎上導出矛盾從而證明這個命題的方法，叫做“反證法”。

美國數學家肯尼思·阿佩爾（Kenneth Appel，1932～2013）與德國數學家沃爾夫岡·哈肯（Wolfgang Haken，1928～）基于反證法考查了各種各樣的圖。可是，他們發現了這樣做的工作量非常龐大，需要花費很多時間。于是，他們決定使用電子計算機來進行驗證。

四色問題的證明是真的“證明”嗎?

這兩位數學家對大約2000種的點線圖模式（下圖），先是人工運算，然後使用了3台電腦（包含當時最先進的電腦），進行了驗證。計算時間總計約花費1200小時，打印了計算結果的紙張壘起來高達1.2米。

證明四色定理時需要考察的點線圖的部分例子。這裡繪出的點線圖，就像拼圖遊戲的小塊一樣，隻是某些點線圖裡的一部分。紅色的點表示有5條連線（有 5個鄰國）。雖然圖中大部分點的連線沒有畫完全，但如果恢複成原本的點線圖，每個點所含的連線數目都會補足。阿佩爾和哈肯使用計算機對大約2000種這樣的點線圖進行了考察。

如果這些計算結果是正确的話，就會和最初的“四色問題不成立”的假設相矛盾，從而達到證明四色問題的目的。之後，由其他數學家對這些計算結果的正确性進行了驗證後，四色問題終于得到了證明。這時，已經是離弗朗西斯·格思裡提出問題124年之後的1976年了。

但是同時，對于這樣使用了計算機進行了大量計算并以計算結果作為證明的方法，出現了很多批判的聲音。這是因為，當時大家認為對于數學而言，證明應該是能用人的手和腦來“簡潔優美”地完成的事情。關于這一證明方法的争論，一直波及到哲學領域，并且給大衆留下了“證明到底是什麼？”這樣的問題。

四色問題被證明後，終于得以被正式地稱為“四色定理”。但是，不用計算機，而隻用紙和筆的簡潔優美的證明目前還尚未成功。從這個角度來說，或許也可以把它稱為某種程度上尚未解決的問題。

現在，四色定理還被應用于配置移動電話基站位置這一領域。為了不讓頻率完全相同的基站相鄰，需要對基站的頻率配置加以“填塗區分”。看着好像和我們的生活沒太大關系的數學定理，其實一直活躍在日常生活中。

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