一、導數

①函數的變化率與導數的概念

1、函數的平均變化率

函數值的改變量與自變量的改變量之比

2、函數的瞬時變化率

對于一般的函數 y = f（x），在自變量 x 從 x0 變到 x1 的過程中，

若設 △x = x1 - x0 , △y = f（x1）-f（x0）, 則函數的平均變化率是

而當 △x 趨于 0 時 ，平均變化率就趨于函數在 x0 點的瞬時變化率，瞬時變化率刻畫的是函數在一點處變化的快慢。

3、平均變化率與瞬時變化率的區别與聯系

①區别

平均變化率刻畫函數值在區間 【x1,x2】上變化的快慢，

瞬時變化率刻畫函數值在點 x0 處的變化的快慢 。

②聯系

當 △x 趨于 0 時 ，平均變化率 △y/△x 就趨于一個常數，

這個常數即為函數在 x0 處的瞬時變化率，它是一個固定的值 。

4、導數的概念

函數 f（x）在 x = x0 處的瞬時變化率的定義 ：

一般地，函數 y = f（x）在 x = x0 處的瞬時變化率是

我們稱它為函數 y = f（x）在 x = x0 處的導數 ，記作

【知識結構圖】

②導數的計算

利用導數的概念計算導數 ；

【例題1】已知函數 f（x）= 2x^2 3x - 1 ，求 f'（2）的值是多少 ？

【方法指導】有兩種方法：

一是先求 △y ，然後求 △y/△x ，再求

二是先求 f'（x）, 再求 f'（2）。

【解答過程】

解法一

解法二

利用初等函數求導公式計算導數 。

二、導數的應用

(1)、導數在研究函數中的應用

函數的單調性、極值與最值、證明不等式、恒成立問題等。

(2)、生活中的優化問題舉例

1、函數的最值的存在性及其求法

一般地，如果在區間 [a , b] 上函數 y = f（x）的圖像是一條連續不斷的曲線，那麼它必有最大值和最小值。

隻要利用導數求出函數 y = f（x）的所有極值，再求出端點的函數值，進行比較，就可以得出函數的最大值和最小值 。

【例題2】函數 f（x）= x（1 - x^2）在 [0 , 1] 上的最大值為 （ ）

【解析】

2、生活中的優化問題

生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，

這些問題通常稱為優化問題.導數是求函數最大(小)值的有力工具，

可以運用導數解決一些生活中的優化問題.

【例題3】一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時 10 公裡時燃料費是每小時 6 元，而其他與速度無關的費用是每小時 96 元，則此輪船的速度為每小時 （ ）公裡時，能使行駛每公裡的費用總和最小.

【解析】

3、利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟

(1) 分析實際問題中各個量之間的關系，列出實際問題的數學模型，

寫出實際問題中變量之間的函數關系式y＝f(x);

(2) 求函數的導數 f'(x)，解方程f'(x)＝0;

(3) 比較函數在區間端點和極值點的函數值的大小，最大(小)者為最大(小)值.

注：

确定函數關系中自變量的定義區間，

一定要考慮實際問題的意義，

不符合實際問題的值應舍去.

【知識結構圖】

三、微積分基本定理

羅爾定理、費馬定理、拉格朗日中值定理等。

四、定積分

1、定積分的概念及簡單應用

2、定積分及性質的理解

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