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圓錐曲線的切線和法線方程

圖文 更新时间:2024-09-18 08:34:27

本文讨論圓錐曲線的切線方程和原點到切線的法向距離公式。

圓錐曲線的切線和法線方程(圓錐曲線的切線方程和原點到切線的法向距離公式)1

如果任意一條曲線為y=f(x), 那麼在(x1, y1)點的切線為:

圓錐曲線的切線和法線方程(圓錐曲線的切線方程和原點到切線的法向距離公式)2

也可寫成: (y-y1)=y1’(x-x1), (1)

y1’是點(x1, y1)處切線的斜率,這是由導數的幾何意義決定的。

從原點做切線的直線,那麼原點到切線的距離可以由法線和切線的交點坐标求出,法線的斜率與切線的斜率稱負倒數。

法線的方程為:y=-x/y1’ (2)

将(1)和(2)聯立得出切線和法線的交點Q(x0, y0):

圓錐曲線的切線和法線方程(圓錐曲線的切線方程和原點到切線的法向距離公式)3

帶入兩點之間的距離公式得到原點到切線的距離公式:

圓錐曲線的切線和法線方程(圓錐曲線的切線方程和原點到切線的法向距離公式)4

若曲線是半徑為r,圓心是原點的圓,帶入上式,顯然p=r 。

對于圓錐曲線,過一點P(x1, y1)的切線方程如下:

圓錐曲線的切線和法線方程(圓錐曲線的切線方程和原點到切線的法向距離公式)5

上述切線方程的證明,需要先求出切線的斜率,而這需要求出圓錐曲線在(x1, y1)的導數,高中知識可以求,但若通過偏導數來求更方便,讀者自己證明。

圓錐曲線的切線和法線方程(圓錐曲線的切線方程和原點到切線的法向距離公式)6

有了切線方程,法線方程就可以通過斜率互為負倒數求出。

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