玩一玩二次函數的“俄羅斯套娃”

二次函數作為中考數學壓軸題的常見考點，在其基礎上衍生出無數變式，它可以和一次函數、反比例函數整合，也可以與幾何圖形結合，而其中的動點問題，更是各地中考壓軸題的熟客，抛物線不僅存在于直觀圖形，更與運動最值等息息相關，這其中對于二次函數及其圖象的性質運用，須達到相當純熟的程度，才能做到遊刃有餘，這一層又一層的二次函數關系，猶如俄羅斯套娃，你玩得轉嗎？

題目

如圖，A(2,1)，B(2,0)，C為y軸上一動點，過A，C兩點的抛物線為y=ax² bx n(a≠0，a≠-1)，直線OA與直線BC相交于點P.

(1)若n=1，且抛物線恰好也過P點，如圖1，直接寫出抛物線頂點坐标為_____________；

(2)當抛物線同時經過A，C，P三點時，此時P必為該抛物線的頂點，請以n=2為例驗證上述結論的正确性；

(3)若抛物線與直線BC有唯一交點C

①求a的值，并求當C沿y軸向上運動時，其頂點同時向下運動所對應n的取值範圍；

②設過B另有一直線(與BC，AB不重合)，也與抛物線僅有一個交點，設為D，經探究發現：無論C在y軸上如何運動，直線CD一定經過一個确定不動點Q，請直接寫出該不動點Q的坐标.

解析：

(1)當n=1時，點C坐标為(0,1)，我們可觀察點A與點C縱坐标相同，在抛物線上，縱坐标相同的兩個點一定是關于對稱軸對稱的，于是對稱軸為x=1，接下來有多種方法可以“秒殺”：

A，B，C坐标均已知，可得直線OA解析式為y=1/2x，直線BC解析式為y=-1/2x 1，求得P(1,1/2)，然後将A，C，P三點代入抛物線解析式分别求出a,b,n，于是抛物線解析式為y=1/2x²-x 1，化為頂點式為y=1/2(x-1)² 1/2，于是頂點坐标為(1,1/2)；

四邊形OBAC是矩形，根據對角線相等且互相平分，點P為BC和OA中點，即它的橫坐标為1，在對稱軸上，因此點P一定是頂點，利用中點公式秒了；

(2)當n=2時，點C坐标為(0,2)，此時OA解析式不變，依然是y=1/2x，而BC解析式變成y=-x 2，求得P(4/3,2/3)，同樣可利用A，C，P三點坐标求出抛物線解析式為y=3/4x²-2x 2，化為頂點式為y=3/4(x-4/3)² 2/3，因此頂點恰好是P；

(3)作為本題的難點，首先需要理解抛物線與直線有唯一公共點的意義，通常我們會聯立抛物線與直線得到一個一元二次方程，這個方程的判别式為零，記住這個方法，後面會多次用到它。

①又是一個令人費解的描述，當C沿y軸向上運動時，其頂點同時向下運動，點C坐标為(0,n)，隻有一個參數n來控制它上下運動，抛物線頂點縱坐标必定是一個含n的二次多項式，究竟是什麼呢？暫時不清楚，但目标是明确的，即将抛物線頂點坐标表示出來看看。

面對抛物線解析式y=ax² bx n中的衆多參數，能消一個算一個，利用題目條件中抛物線經過點A，将其坐标代入，得4a 2b n=1，于是得到b=1/2-2a-n/2，于是抛物線解析式變成y=ax² (1/2-2a-n/2)x n，直線BC的解析式可設為y=kx n，再将點B坐标代入，得k=-n/2，于是直線BC解析式為y=-nx/2 n，現在我們聯立它們得到一個關于x的一元二次方程，ax² (1/2-2a-n/2)x n=-nx/2 n，整理後得到ax² (1/2-2a)x=0，根據△=0，我們可求出a=1/4，于是b=-n/2，至此抛物線解析式可化為y=1/4x²-nx/2 n，這是一個隻含參數n的一元二次方程，它的頂點坐标可表示為(n,n-n²/4)，請注意它的縱坐标，是不是與我們先前的預測吻合？

将其縱坐标利用配方法化簡得-1/4(n-2)² 1，我們可以利用二次函數的圖象性質，确定當n≥2時，頂點縱坐标随n的增加而減少，即向下運動，推導如下：

②由題意可知直線BD與抛物線僅有一個公共點D，不妨設BD的解析式為y=mx d，代入B(2,0)，得到d=-2m，于是BC解析式可化為y=mx-2m，将其和抛物線聯立得方程1/4x²-n/2x n=mx-2m，同樣求其判别式△=1/4(n 2m)²-(n 2m)=0，我們提個公因式再來看，(n 2m)[1/4(n 2m)-1]=0，意味着m=-n/2或m=2-n/2，請注意，題目中說了它與BC，AB不重合，而在前面我們求得BC的解析式中k=-n/2，于是m≠-n/2，所以m=2-n/2，再求出d=n-4，現在我們知道BD的解析式為y=(2-n/2)x n-4，将其與抛物線聯立，得方程1/4x²-n/2x n=(2-n/2)x n-4，整理得1/4x²-2x 4=0，可求出x=4，于是點D坐标為(4,4-n)；

此時我們設CD的解析式為y=px n，将點D坐标代入，得到p=1-n/2，于是CD解析式化為y=(1-n/2)x n，它一定經過一個确定的不動點Q，怎麼尋找這個點呢？

抓住“不動”二字，即無論n取何值，總有一對x，y的值滿足，不妨将所有含n的式子中因數n提出來，得到y=x n(1-x/2)，這就可以看出來了，當x=2時，y=2，與n無關，所以點Q坐标為(2,2)，推導如下：

解題反思

在參數n确定的時候，本題難度一般，涉及到抛物線與直線有唯一交點的問題也曾無比熟悉，然而在理解頂點向下運動的時候，需要建立起它的縱坐标與二次函數圖象的關聯，相當于在原題的二次函數中又嵌套了一次，而在研究直線過定點類的問題時，一定要牢記直線過定點的基本方法，即與解析式中的參數無關，什麼叫無關呢？即化為關于這個參數的方程，讓它的系數為零，這樣就能保證無論參數如何變化，恒成立，從而求解出需要的結果。

從這道題目中，至少我們知道參數控制點的運動，如果是參數的一次多項式，則點沿直線運動，如果是二次多項式，基本上沿抛物線運動，就一定存在“忽上忽下”的運動路線，這極容易迷糊，而要理清它如何動，歸根到底還是建立在對二次函數圖象特征的深度理解上。

雪浪紙

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