高中數學必背公式、常用結論
一．二次函數和一元二次方程、一元二次不等式
1．二次函數
的圖象的對稱軸方程是
，頂點坐标是
。
2.實系數一元二次方程
的解：
①若
,則
;
②若
,則
;
③若
，它在實數集
内沒有實數根；在複數集
内有且僅有兩個共轭複數根
.
3.一元二次不等式
解的讨論:
|
|
|
| |
|
二次函數
（
）的圖象 | |||
|
一元二次方程
|
有兩相異實根
|
有兩相等實根
|
無實根 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
二、指數、對數函數
1．運算公式
⑴分數指數幂：
；
（以上
，且
）.
⑵.指數計算公式：
；
；
⑶對數公式：①
； ②
；
③
； ④
.
⑷.對數的換底公式:
.對數恒等式:
.
2．指數函數
的圖象和性質
|
a>1 |
0<a<1 | ||
|
圖 象 |
|
| |
|
性 質 |
(1)定義域：R | ||
|
（2）值域：（0， ∞） | |||
|
（3）過定點（0，1），即x=0時，y=1 | |||
|
(4)x>0時，y>1;x<0時，0<y<1 |
(4)x>0時，0<y<1;x<0時，y>1. | ||
|
（5）在 R上是增函數 |
（5）在R上是減函數 | ||
3．對數函數
的圖象和性質
三．常見函數的導數公式:
1． ①
；②
；③
；④
；
⑤
；⑥
；⑦
；⑧
。
2．導數的四則運算法則：
3．複合函數的導數：
四．三角函數相關的公式：
1．⑴角度制與弧度制的互化：
弧度
，
弧度，
弧度
⑵弧長公式：
；扇形面積公式：
。
2．三角函數定義:角
終邊上任一點（非原點）P
,設
則：
3．三角函數符号規律：一全正，二正弦，三正切，四餘弦；（簡記為“全s t c”）
4．誘導公式記憶規律：“奇變偶不變，符号看象限”
5．⑴
對稱軸：令
，得
對稱中心：
；
⑵
對稱軸：令
，得
；對稱中心：
；
⑶周期公式:①函數
及
的周期
(A、ω、
為常數，
且A≠0).②函數
的周期
(A、ω、
為常數，且A≠0).
6．同角三角函數的基本關系：
7．三角函數的單調區間及對稱性：
⑴
的單調遞增區間為
,單調遞減區間為
，對稱軸為
,對稱中心為
.
⑵
的單調遞增區間為
,單調遞減區間為
，
對稱軸為
,對稱中心為
.
⑶
的單調遞增區間為
，對稱中心為
.
8．兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式：
①
；
；
.
②
；
.
③
=
(其中,輔助角
所在象限由點
所在的象限
決定,
).
9．二倍角公式：①
.
②
（升幂公式）.
（降幂公式）.
10．正、餘弦定理：
⑴正弦定理：
（
是
外接圓直徑 ）
注：①
；②
；③
。
⑵餘弦定理：
等三個；
等三個。
11.幾個公式:⑴三角形面積公式：①
（
分别表示a、b、c邊上的高）；②
.
五。立體幾何
1.表（側）面積與體積公式：
⑴柱體：①表面積：S=S 2S；②側面積：S=
；③體積：V=Sh
⑵錐體：①表面積：S=S S；②側面積：S=
；③體積：V=
Sh：
⑶台體：①表面積：S=S
S;②側面積：S=
;③體積：V=
（S
）h；
⑷球體：①表面積：S=
；②體積：V=
.
2．空間中平行的判定與性質：
1）、直線和平面平行：
定義：若直線與平面沒有公共點，則直線與平面平行。
判定定理：若a
,
且a‖
,則a‖
； 若
且
則有
性質定理：a‖
.且
則
2）、平面與平面平行的判定與性質：
定義：如果兩個平面沒有公共點則稱兩個平面平行。
判定定理：若
則
。
若
且
則
。
性質定理：若
則有a‖b
3．空間中垂直的判定與性質：
1）、直線與平面垂直：
定義：設
為平面
内的任意一條直線，
，則
。
判定定理：若
，且
，則
。
若
則
性質定理：若
，
則
。
2）、平面與平面垂直：
定義：如果兩個平面所成的二面角的平面角為
，則稱這兩個平面互相垂直。
判定定理：若
，
，則有
。
性質定理：若
且
，則
。
若
則
。
六．解析幾何：
1．斜率公式：
，其中
、
.
直線的方向向量
，則直線的斜率為
=
.
2.直線方程的五種形式：
(1)點斜式：
(直線
過點
，且斜率為
)．
(2)斜截式：
(
為直線
在
軸上的截距).
(3)兩點式：
(
、
，
).
(4)截距式：
(其中
、
分别為直線在
軸、
軸上的截距，且
).
(5)一般式：
(其中A、B不同時為0).
3．兩條直線的位置關系：
（1）若
，
,則：
①
∥
,
； ②
.
（2）若
,
,則：
①
且
；②
.
4．求解線性規劃問題的步驟是：
（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目标函數；（3）确定目标函數的最優解。
5．兩個公式:
⑴點P（xy）到直線Ax By C=0的距離：
；
⑵兩條平行線Ax By C=0與 Ax By C=0的距離
6．圓的方程：
⑴标準方程：①
；②
。
⑵一般方程：
（
注：Ax Bxy Cy Dx Ey F=0表示圓
A=C≠0且B=0且D E－4AF>0
⑶參數方程：
7．圓的方程的求法：⑴待定系數法；⑵幾何法。
8．點、直線與圓的位置關系：（主要掌握幾何法）
⑴點與圓的位置關系：（
表示點到圓心的距離）
①
點在圓上；②
點在圓内；③
點在圓外。
⑵直線與圓的位置關系：（
表示圓心到直線的距離）
①
相切；②
相交；③
相離。
⑶圓與圓的位置關系：（
表示圓心距，
表示兩圓半徑，且
）
①
相離；②
外切；③
相交；
④
内切；⑤
内含。
9．直線與圓相交所得弦長
10.橢圓、雙曲線、抛物線
|
橢圓 |
雙曲線 |
抛物線 | ||
|
定義 |
1．到兩定點F,F的距離之和為定值2a(2a>|FF|)的點的軌迹 |
1．到兩定點F,F的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|FF|)的點的軌迹 | ||
|
2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌迹.（0<e<1） |
2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌迹.（e>1） |
與定點和直線的距離相等的點的軌迹. | ||
|
圖形 | ||||
|
方 程 |
标準方程 |
(
>0) |
(a>0,b>0) |
y=2px |
|
參數方程 |
|
|
(t為參數) | |
|
範圍 |
─aundefinedxundefineda，─bundefinedyundefinedb |
|x| undefined a，yundefinedR |
xundefined0 | |
|
中心 |
原點O（0，0） |
原點O（0，0） | ||
|
頂點 |
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) |
(a,0), (─a,0) |
(0,0) | |
|
對稱軸 |
x軸，y軸； 長軸長2a,短軸長2b |
x軸，y軸; 實軸長2a, 虛軸長2b. |
x軸 | |
|
焦點 |
F(c,0), F(─c,0) |
F(c,0), F(─c,0) |
| |
|
焦距 |
2c （c=
） |
2c （c=
） | ||
|
離心率 |
|
|
e=1 | |
|
準線 |
x=
|
x=
|
| |
|
漸近線 |
y=±
x | |||
|
焦半徑 |
|
|
| |
|
通徑 |
|
|
2p | |
|
焦參數 |
|
|
P | |
七．等差、等比數列：
|
等差數列 |
等比數列 | ||
|
定義 |
|
| |
|
通項公式 |
=
（n-1）d=
（n-k）d=
-d |
| |
|
求和公式 |
|
| |
|
中項公式 |
A=
推廣：2
=
|
。推廣：
| |
|
性質 |
1 |
若m n=p q則
|
若m n=p q，則
。 |
|
2 |
若
成A.P（其中
）則
也為A.P。 |
若
成等比數列 （其中
），則
成等比數列。 | |
|
3 |
．
成等差數列。 |
成等比數列。 | |
|
4 |
|
，
| |
2．看數列是不是等差數列有以下三種方法：
①
；②2
(
)
③
(
為常數).
3．看數列是不是等比數列有以下2種方法：
①
；②
(
，
)
4．數列{
}的前
項和
與通項
的關系：
5. 常用公式：①1 2 3 … n =
；②
；
③
；④
； ⑤
八。複數
1.複數的四則運算法則：
(1)
;(2)
;
(3)
;
(4)
.
2.複平面上的兩點間的距離公式 ：
（
，
）.
3．幾個重要的結論：
；⑶
；⑷
⑸
性質：T=4；
；
4．模的性質：⑴
；⑵
；⑶
。
九。向量
|
運算類型 |
幾何方法 |
坐标方法 |
運算性質 |
|
加 法 |
1.平行四邊形法則 2.三角形法則 |
|
|
|
減 法 |
三角形法則 |
|
,
|
|
數 乘 向 量 |
1.
是一個向量,滿足:
2.
>0時,
同向;
<0時,
異向;
=0時,
. |
|
|
|
向 量 的 數 量 積 |
是一個數 1.
時，
. 2.
|
|
|
2.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e，e是同一平面内兩個不共線的向量，那麼，對于這個平面内任一向量，有且僅有一對實數λ，λ，使a＝λe＋λe.
(2)兩個向量平行的充要條件：
∥
=λ
；
(3)兩個向量垂直的充要條件：
(
)
·
=0
九．不等式
1.不等式的基本性質
（1）
（對稱性）；（2）
（傳遞性）
（3）
（加法單調性）
（4）
（同向不等式相加）；
（5）
（異向不等式相減）
（6）
；（7）
（乘法單調性）
（8）
（同向不等式相乘）；
（異向不等式相除）
（倒數關系）；（11）
（平方法則）
（12）
（開方法則）
2．均值不等式：
注意：①一正二定三相等；②變形：
。
3．極值定理：已知
都是正數，則有：
(1)如果積
是定值
，那麼當
時和
有最小值
；
(2)如果和
是定值
，那麼當
時積
有最大值
.
十．概率和統計：
1．概率
⑴互斥事件（有一個發生）概率公式：P(A B)=P(A) P(B)；
⑵古典概型：
；
⑶幾何概型：
；
2．總體特征數的估計：
⑴樣本平均數
；
⑵樣本方差
；
⑶樣本标準差
=
3．相關系數（判定兩個變量線性相關性）：
注：⑴
>0時，變量
正相關；
<0時，變量
負相關；⑵當
越接近于1，兩個變量的線性相關性越強；當
越接近于0時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系。
4． 回歸直線方程
，其中
十一。理科選修部分
1．排列、組合和二項式定理：
⑴排列數公式:
=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=
(m≤ n, m、n∈N*),
當m=n時為全排列
=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1= n!
⑵組合數公式：
=
=
=
(
，
∈N，且
)
⑶組合數性質：
⑷二項式定理：
①通項：
②注意二項式系數與系數的區别
2．随機變量
⑴随機變量的分布列：①随機變量分布列的性質：p≥ 0, i=1,2,3，…； p p …=1;
②離散型随機變量：
|
X |
x |
X |
… |
X |
… |
|
P |
P |
P |
… |
P n |
… |
均值（又稱期望）：EX＝ xp xp … xp … ;
方差：DX＝
;
注：
；
③二項分布（獨立重複試驗）：若X～B（n , p）,則EX＝n p, DX＝n p（1- p） 注：
。
⑵條件概率：稱
為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率。注：0
P（B|A）
1
⑶獨立事件同時發生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态總體的概率密度函數：
式中
是參數，分别表示總體的平均數（期望值）EX與标準差
；
正态曲線的性質：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，關于直線x＝
對稱；③曲線在x＝
處達到峰值
；④曲線與x軸之間的面積為1；
1當
一定時，曲線随
值的變化沿x軸平移；
2當
一定時，曲線形狀由
确定：
越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越分散；
越小，曲線越“高瘦”，表示總體分布越集中。
注：P
=0.6826；P
=0.9544
P
=0.9974
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