概率密度：

若存在非負可積函數 f(x), 使随機變量X取值于任一區間 (a, b] 的概率可表示成

圖1

則稱 X為連續型随機變量， f(x)為 X 的概率密度函數，簡稱概率密度或密度。

對 f(x)的進一步理解：

圖2

X的概率密度函數f(x)在 x 這一點的值, 恰好是X 落在區間 [x , x △x]上的概率與區間長度△x 之比的極限。

如果把概率理解為質量，f (x)相當于物理學中的線密度。

圖3

圖4

從以上分析可以得出結論：

1：概率密度是概率的變化率；

2：概率密度在一個時間段中的積分就可以得出概率。

那麼，現實中能不能找到一個具體例子用來理解概率密度這個概念呢？

以打靶為例：

從圖4可以看出，分布函數是一個概率，那麼，概率密度到底是什麼呢？

我們假設，現在有很多人對着同一塊靶進行設計，每過一段時間統計射中了多少次，那麼，這個随着時間變化的射中的次數就是分布函數F（x）;為了與概率密度函數f（x）相對應，我們假設每個時刻進行射擊的人數是随着時間的變化而變化的，從而每個時刻擊中靶的次數也是變化的，那麼，這個次數就應該相當于概率密度函數f（x）。由此可以看出，一段時間内，總的射中次數,也就是概率F(x)，是和這段時間内每個時刻的射中次數，也就是概率密度函數f（x）有關的。

上面的例子還說明，F（x）本來是用來表示概率的，是一種不确定性事件，但在這個例子裡面，它卻具有了某種确定性的性質：它會随着時間的增加而增加（對f(t)積分）。比如，經過一段時間以後，F（x）=0.8，那就表示随着一段時間内不同的人數進行射擊以後，假設總共射擊了1萬次，其中射中了8000次。

同時，因為概率密度函數必須滿足條件

圖5

這就意味着，每個射擊者，其射擊的命中率不能為0，要不然上圖的積分永遠也不會為1；而且這個命中率也不是f(x),因為f(x)表示的是某個時刻射中的次數；也不是F（x），因為F（x）表示的是一段時間内所有進行射擊的人員總的命中率。因此，我們隻能認為，進行射擊的每一個人都有一個我們不知道的命中率，而且這個命中率應該相同，因為f(x)隻能表示某個時刻所有人變化的射中次數，無法再表示每個人變化的命中率。

從上述分析可以看出，因為每個人的每次射擊可以看作是一次随機試驗，因此

概率密度函數f（x）似乎可以認為是進行随機試驗的次數，這個随機試驗是有一個出現目标樣本的概率的。

因為概率密度函數是對于連續型随機變量來說的，為了模拟這個實數，我們可以假設那塊目标靶位于銀河系的中心，所有參加射擊的人可以在太空中任何位置站立，以一個相同的命中率對着目标靶進行射擊，并且那些人數随時間變化而變化。因為空間的無限性導緻人數可以無限，這樣大概就相當于連續的實數了。

f(x)能不能認為是同一個人在進行射擊，但這個人的命中率是随着時間而變化的，也就是f(x)?從而F(x)表示的是這個人射擊了一段時間以後的總的命中率？似乎也是可以的，但我們知道，概率不能大于1，但概率密度可以無窮大（對應積分區間無窮小），而且概率是一個測度，也就是這個命中率 f(x) 是包括有理數和無理數的，但命中率似乎隻能是一個有理數。前面例子中的人數似乎也是有理數，但由于空間的無限性，似乎我們可以認為這個人數可以包括無理數，因為某個時刻的人數可能沒人算得清。

至于圖3中最後一句話是什麼意思，本人不理解，歡迎讨論。

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