拉普拉斯變換，是工程數學中常用的一種積分變換，它是為簡化計算而建立的實變量函數和複變量函數間的一種函數變換，由法國數學家提出。

拉普拉斯是法國16世紀—17世紀的數學家、物理學家、天文學家，在他研究的牛頓引力場和太陽系的問題時候，由于想将涉及的積分微分方程簡單解決，從而提出了用他名字命名的拉普拉斯變換公式。

拉普拉斯的主要作用就是簡化微積分的運算，特别是對于線性微分方程的求解，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化，舉個例子吧，計算下面的式子：

是不是很複雜，幾乎無從下手，但是如果轉化為對數求解之後，就變成以下式子：

拉普拉斯是一種積分變換，顧名思義，積分變換的實質就是通過積分運算形式，講一個函數變成另一個函數的轉變過程。如果f(t)是一個關于t的函數，在符合拉普拉斯變換條件下(為簡化說明，條件先不說，以免容易頭疼），那麼f(t)的拉普拉斯變換就可以表示為如下式子：

也可以表示為£[f(t）]，其中L實際應為L的花體式樣，也就是拉普拉斯第一個字母，可是我打不出來真正的花體······

拉普拉斯變換的條件，必須是的F(S)等号右邊的廣義積分在S區域内收斂，所謂收斂其實就是指該函數的變量t在趨向無窮的時候，其通項的值趨向于某一個數值。如下圖所示，當t趨向無窮時，通項值趨向于0。這也是拉普拉斯變換存在的先決條件，e^（-σt）也稱為收斂因子（σ為任意實數）。

也就是說，不管函數f(t)是否收斂，但是增加了收斂因子後，它一定是收斂的，那麼它的拉普拉斯變換就一定存在了（這貨是不是辣條啊，沒有它搞不定的@@）。

舉一個例子吧，假設一個一次函數f(t)=mt（t≥0，m為常數），求它的拉普拉斯變換，求解過程如下：

一些常用的拉普拉斯變換公式：

正弦和餘弦的拉普拉斯變換

拉普拉斯變換的作用在于：對一個實變量函數作拉普拉斯變換，并在複數域中作各種運算，再将運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。特别對于求解線性微分方程尤為有效，它可把複雜的微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使得計算過程大為簡化。畢竟，時域的信号，我們傷不起。

拉普拉斯反變換就不多說，本質一樣，逆運算而已，公式如下：

在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。如有一些信号處理的計算在時域是很難或者無法實現的，但是在複頻域卻可以實現，而将時域轉換成複頻域運用的就是拉普拉斯變換。

所以說，一個信号的拉普拉斯變換物理意義在于它是這個信号的複指數信号響應的h(t)的頻域，如y(t)=H(s)*e^st，這裡H(s)=∫h(t)*e^-st dt就稱作h(t)的拉普拉斯變換。

了解拉普拉斯的含義和本質，那麼學習起來一定會事半功倍。如同春天裡面充足養分和雨露的果樹，到了秋天，一定是枝頭滿挂豐收果。

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