看這篇文章，最好先看《賽老師伴你過寒假：九年級，備中考，二次函數中的二倍角問題》。

等角存在性問題的解題本質與二倍角問題的思路有部分重合部分。相對來講，二次函數等角存在性問題比二倍角問題要簡單很多。

大緻可分為六種，如下圖：

構造等角6種方法

這6種方法，需要靈活應用，具體題目具體分析。

本篇文章，重點介紹二次函數中最常用的兩種思路：

1. tan值相等，則角相等。（動點組成的角，一邊水平或豎直時常用）
2. 聯立一次函數和抛物線解析式求交點來做。（這種較難）

首先，需要算出tan值；

其次通過二次函數表達式，設動點坐标，表示線段長度。

最後，用相等的tan值列出方程，求解，即可。

一般方法是：畫出高，再用三角形面積，求斜邊的高，再通過勾股定理求出相關線段，從而求出tan值。

例1：如下圖：

例1

例1，其中∠PAB中有一邊AB為水平，所以考慮用tan值的方法。

圖解如下：

分析圖

分析：

1. 可以求出△ACC1的面積，AC的長度，從而求出HC1的長度，再用勾股定理算出AH的長度，從而求出tan∠CAC1的值。
2. 通過抛物線解析式設P點的坐标，通過tan∠CAC1的值，列出方程，求解，即可。

具體過程，如圖：

例1解法

解法與例1相同，試試看看。

等角練習

如動角，沒有一邊水平或豎直，用上述方法無法解答時，考慮用下面的方法。

一次函數的綜合二次函數求交點坐标，巧解等角問題。

例題如下圖：

一次函數求交點，解等角

分析：鑒于BC并非水平或豎直，所以無法用tan∠PBC來列方程求解。

這題考慮用一次函數與二次函數求交點坐标來做，常用方法是構造平行線，對于一次函數來說，平行指的是k值相等。

數形結合如下圖：

數形結合

（1）如圖位于P1時，構造BP1平行DC,可以先求出DC的一次函數表達式，則BP1的一次函數表達式與它k相等，又因過B點，可求出BP1的一次函數表達式。然後和抛物線解析式聯立求出交點P1的坐标。

位于P1時，比較簡單。

（2）如圖位P2時，介紹兩種方法。

方法一：過點C做垂直于BC的直線，分别交BP1,BP2于E1和E點。把E點坐标求出來，再用待定系數法，通過B點和E點坐标，求出BP2的一次函數表達式，然後和抛物線解析式聯立求出交點P2的坐标。（不一定非要過點C做垂線，可以取BC上任意一點做垂線，取C隻是方便一點。）

關鍵是怎麼求出點E的坐标？

過點C做垂直于BC的直線，分别交BP1,BP2于E1和E點。

兩條相互垂直的直線k值的積為-1，可求出CE的表達式，再與BP1的表達式聯立，求出交點E1的坐标。

因為∠P1BC=∠P2BC，所以點E和點E1關于C點對稱。通過中點坐标公式求出點E的坐标。

強調：兩條相互垂直的直線k值得積為-1，為高中知識。

雖然用了高中知識，但這種處理方法比較簡單，容易想到。

方法二：利用等腰三角形，三線合一的性質

解法如下圖：

方法二

此方法關鍵是發現等腰三角形△BMC，再做BC的垂線，等腰三角形三線合一，MN是BC的垂直平分線，所以NC=NB,設N點坐标，用兩點之間距離公式，即可求出點N坐标。又G為BC中點，中點坐标公式求出G點坐标。然後求出MN表達式，聯立CD的表達式求出交點M的坐标，再求出BM的表達式，聯立抛物線解析式，即可求出P點坐标。

方法二，計算量相對來說較大，細心仔細，别出錯。

解法與例2一樣，來做做試試！

練習2

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