（一）溫故知新，引入課題

大家已經學習了直線和平面的垂直關系，學新課之前，讓我們作個簡單的回顧：

1．直線和平面垂直的定義？

2．直線和平面垂直的判定定理?

許興華數學圖片

（二）猜想推測，激發興趣

（三）層層推進，證明定理

我們在讨論立體空間時，通常會想把空間的問題轉化為平面問題，那有沒有什麼方法可以幫助我們将空間與平面聯系在一起呢? • 今天我們學習的内容，就可以把空間垂直的問題轉化為平面垂直的問題。這就是:三垂線定理與三垂線逆定理 .

我們先來看一下三垂線定理及逆定理的描述。

1、三垂線定理：平面内的一條直線，如果和這個平面的一條斜線在這個平面内的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。

2、三垂線定理的逆定理：如果平面内一條直線和該平面的一條斜線垂直，那麼這條直線也垂直于這條斜線在平面内的射影。

具體在圖中體現為：我們将OP稱為平面的斜線，PA是平面的垂線，AO是OP在平面内的射影，a是平面内的一條直線，若a與AO垂直，則l也與PO垂直，反之亦然。

其實三垂線定理從證明的角度看可以認為是線面垂直轉化關系的一個常用推論.這是一個标準的從線線垂直（一般是共面）轉化為線面垂直又轉化為新的線線垂直（一般是異面）的立體幾何推理過程。

但換一個觀點和角度來看，三垂線定理的價值在于将一個需要進行多次轉化而且模式基本确定的證明過程以定理的形式規範下來，這使得在相關的證明（之後還有計算）過程中書寫難度得到有效降低，在部分複雜題目中更是如此。而從很多立體幾何題目設計的思路來看，經常會出現兩條看似無關直線（一般是異面）的關系問題，一般方法是讓他們在不同平面中分别找關系，然後利用一個橋梁進行溝通；三垂線定理正是提供了這樣一個可以進行簡便溝通的方式。

而更為重要的是，在三垂線定理中，最重要的其實并不是斜線或者射影（盡管它們分别是條件和結論），而是平面的垂線！有了這個垂線的存在，才會使得兩條異面直線建立關系；有了這個垂線，才能形成相應的平面和直角三角形從而便于計算；而同樣也是因為有了這條垂線，使得直線和平面所稱的角，以及升級版的平面和平面所成的角（二面角）出現并有了用平面角度量其大小的方式。在這個意義上，三垂線定理的模型也包含了重要的計算角度的方式，即“異面角”平面化，把空間中的角轉化為平面幾何特别是直角三角形中相應角度和邊長的計算。

所以還是兩個基本問題：立體幾何平面化，化斜為直。如果這兩個基本觀點能夠一直貫徹下去，則我們對于立體幾何的圖形構成、推理過程、研究方法都會有比較清楚的認識。而在這個過程中，三垂線定理的存在具有重要意義，無論是從知識體系的角度還是研究方法的層面，不管教材如何處理，我們都需要認證對待。

(四）理解定理，簡單應用

【注】本文為頭條号“許興華數學”原創作品，任何媒體轉載請注明出息。

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