乘法的意義是什麼？在舊教材中分得非常清楚，但是學生卻容易記錯，如今新課标下的乘法算式已經不區分乘數與被乘數，5個3可以列成5×3也可以列成3×5，學生是方便了老師卻糊塗了，特别是教到小數的乘法時，5×0.3與0.3×5這兩個算式的意義怎麼也說不清楚或者是不敢說清楚了。

　　上個世紀八十年代中期《小學數學教師》就曾展開了一輪關于“乘法意義”的讨論，當時的結論基本上是贊同不必區分被乘數和乘數，後來的課程改革也是朝這個方向走的。現在，我們再回過頭去用新的思想去審視新教材中的“乘法意義”，我們會有不少新的發現。

　　一、新教材“乘法意義”更接近乘法的本質

　　整數乘法意義是“求幾個相同加數的和的簡便運算”這一本質在過去和今天的教材都是一樣的。隻是在形式上，新教材允許把“4 4 4 4 4”改寫成“4×5”也可以寫成“5×4”。反過來，也就是說“5×4”可以表示“4個5相加的和”也可以表示“5個4相加的和”。這可以說是“乘法意義”的一次突破，使我們對“乘法意義”的認識更接近其本質，因為“5×4”可以表示兩種意義，以前隻有一種意義完全是人為規定。

　　二、新教材“乘法意義”開拓了人的思維空間

　　如上所述，新教材“乘法意義”不再是一個答案了。當我們解放自己的思想之後，回到現實中的數學之後，我們一定會發現我們思維空間突然變得寬闊了。如果讓學生算“72×8，2×72”，這種題型在過去是一個教學的難點。因為要理解它必須用到“交換律”和“分配律”，要不然就會“拐不過彎來”。今天的學生卻可以十分自然地選擇适當的意義而想到：8個72加上2個72不就是10個72啦！而這種如此簡單的想法在過去會被認為是不合邏輯的或不嚴密的。因此，新教材“乘法意義”解放了人的思想，開拓了人的思維空間，為創新思維提供了更好的平台。

　　三、分數乘法同樣不必再區分被乘數和乘數

　　有人提出“如果專家們真的考慮不區分分數乘法意義，将導緻什麼後果，想起來還挺可怕的。”這種“可怕”也許就是擔心學生會出現一些如上所述的“不符合邏輯的、不嚴密的”想法，于是“懷念她對數學的嚴肅、嚴謹的态度”。數學本身确實以嚴密的邏輯體系而成立，這也是使過去中小學數學成為機械、枯燥學科的一個重要原因。但對于這些早已嚴格論證過的數學知識，在教學中非得像寫數學論著一樣讓學生去接受嗎？何況原來的想法不一定符合實際，如“乘法意義”的唯一性就是一例。因此，在分數乘法意義中，同樣不必區分4/9×6和6×4/9以及3/4×4/9和4/9×3/4之類的意義，因為它們本身都有兩種意義。如4/9×6可以表示“6的4/9”，也可以表示“4/9的6倍”或“6個4/9”。但是在一個具體的問題中，它的意義一般可以認為是特定的，如“一根6米長的繩子，用去4/9，用去多少米？”不論你寫成6×4/9還是寫成4/9×6，都可以理解為“6米的4/9”。不過有趣的是通過特定的想法還可以給它們都“賦予”另一種它們本來就有的意義：1米的4/9就是4/9米，那麼6米的4/9就有6個1米的4/9，也就是6個4/9米。在這裡不區分“6個1米”的4/9和6個“1米的4/9”，是因為我們知道，能夠從邏輯上證明它們是相同的。同樣，對于“某廠原有煤4000噸，煉鋼用去了2/5，煉鐵用去的是煉鋼的1/5，煉鐵用去了多少噸？”，如果列式就是寫成了“2/5×1/5×4000”也就能理解了。

　　四、“乘法意義”具有階段性與統一性

　　“乘法意義”在不同階段有不同的含義，并且可以用“向下兼容”來形容。首先，“幾個”是“幾倍”的特例。在整數乘法中，兩者是等價的，這種思想可以讓學生更容易認識“幾倍”；當得不到整數倍時，就出現了小數倍，這時“幾個”是“幾倍”的一種特例，“乘法意義”也就開始了擴展。其次，“一個數的幾分之幾”也是“一個數的幾倍”的特例。當不到1倍時，我們就習慣于說“幾分之幾”，而不說“幾倍”，可見“幾倍”和“幾分之幾”隻是說法上的不同而已，本質上卻是一樣的。這種思想結合實例與直觀能讓學生更好地理解“一個數的幾分之幾”的含義進而對“乘法意義”進行有效擴展。在學習了百分數之後，“幾倍”和“幾分之幾”都可以用百分數來表示，這樣，“乘法意義”的不同表述的統一性又一次體現出來了。由此可見，“乘法意義”具有階段性，同時也具有統一性，這也是必然的，因為都是“乘法”嘛！可是，我們過去的思想卻一直停在一種不統一的狀态，或者人為分裂的狀态。從“單價×數量=總價”到“1倍數×幾倍=幾倍數”等各種各樣數量關系式及相應各種各樣的題型中，常碰到這樣的實例。

　　“乘法意義”可以說是一個十分基本的概念，老教材和新教材在處理上可以說是有很大的區别。從上述分析中，我們不難看到新教材更加科學的一面和更加有利于培養創新思維的一面。願各位同行能帶着以上思想去審視新教材中的“乘法意義”，以領悟更加完美的“乘法意義”，也讓學生用全新的“乘法意義”更好地掌握“乘除法應用題”（這裡用“乘除法應用題”是因為本人看來“乘法”和“除法”本身就是相對統一的）。同時，我們也看到現行教材在分數乘法的意義等方面還有所保守，但願新教材能更加開放些，讓“乘法意義”走向“統一”，讓我們對“乘法意義”的認識更加接近它的本質。

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