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引力勢能的變化規律

科技更新时间:2025-01-11 16:21:40

引力勢能公式的推導

處在地球引力場中的物體在靠近地球或遠離地球時，萬有引力會對物體做功，從而引起物體引力勢能的變化，且引力做多少功，物體的引力勢能就會減小多少-----功能關系。

引力勢能的變化規律（地球的引力勢能公式及其應用）1

如圖所示，設地球的質量為M，物體的質量為m，物體與地球之間的距離為r。現将物體從r處移到離地球無窮遠處，地球引力對物體做了多少功呢？

引力勢能的變化規律（地球的引力勢能公式及其應用）2

當物體移動很小的距離dr時，萬有引力對物體做的功dW為:

引力勢能的變化規律（地球的引力勢能公式及其應用）3

将這些功累積起來，就可得到地球引力對物體做的功W為:

引力勢能的變化規律（地球的引力勢能公式及其應用）4

規定物體在無窮遠處的引力勢能為零，即Ep∞=0，結合功能關系可以的到:

引力勢能的變化規律（地球的引力勢能公式及其應用）5

以上即為物體在距離地球r的地方引力勢能的表達式。

引力勢能公式的應用

1.推導發射航天器的第二宇宙速度

當航天器的發射速度超過一定值時，它就可以擺脫地球引力的束縛，飛離地球進入環繞太陽運行的軌道。這個脫離地球引力的最小發射速度就是第二宇宙速度。

引力勢能的變化規律（地球的引力勢能公式及其應用）6

設地球的半徑為R，當航天器的發射速度為v時，航天器恰好能脫離地球的吸引，即到達（相對地球）無窮遠處。該過程航天器的發射動能轉化為引力勢能，根據機械能守恒定律得:

引力勢能的變化規律（地球的引力勢能公式及其應用）7

從以上結果可以看出，第二宇宙速度是第一宇宙速度的根2倍，約等于11.2km/s。

2.計算衛星變軌的機械能變化

如圖所示為衛星變軌的簡單示意圖，我們知道，衛星從一個低軌道1‘’升遷‘’至高軌道3至少要經過兩次點火加速，所以衛星運行的軌道越高，機械能越大。衛星在變軌過程中至少要補充多少機械能呢？

引力勢能的變化規律（地球的引力勢能公式及其應用）8

衛星在軌道1和軌道3上做圓周運動時，都是由萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律可确定衛星在兩個軌道上運行時的動能如下：

引力勢能的變化規律（地球的引力勢能公式及其應用）9

結合引力勢能公式可确定衛星在兩個軌道上運行時的機械能分别為：

引力勢能的變化規律（地球的引力勢能公式及其應用）10

所以衛星在變軌過程中至少要補充的機械能為：

引力勢能的變化規律（地球的引力勢能公式及其應用）11

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