對于幾何問題，歐幾裡得有非常重要和有力的解題工具，那就是相似三角形和全等三角形。全等三角形是特殊的相似三角形，就是說兩個相似三角形的相似比如果是1：1，那麼，它們是全等三角形。

今天的主題是全等三角形。我們首先看一道題（歐幾裡得的風車），它的證明很難，也是幾百年前的歐洲大學生要學習的内容，也讓當時的差生抓狂。

我們學習全等三角形的幾個知識點以後，進入中學數學講座：全等三角形的自述。學習後，我們來攻克歐幾裡得的風車這道難題，見識全等三角形的威力。

《天才引導的曆程》截圖

題目：歐幾裡得的風車

如圖，利用歐幾裡得作的5條輔助線，證明對于直角三角形，勾股定理成立。

圖形的全等（congruence of figures）

圖形間的一種等價關系，給定平面上或空間中的兩個幾何圖形，如果經過合同變換（即正交變換），一個圖形能與另一個圖形重合，即一個圖形能變成另一個圖形，則說這兩個圖形全等或合同（也可說成圖形相等）,并把這兩個圖形稱為全等（圖）形或合同（圖）形.例如，平面上有線段、角、三角形、圓等的全等，空間中有多面角、多面體、球等的全等.兩個圖形F₁ 和F₂全等，記為F₁≌F₂或F₁≡F₂，圖形的全等是等價關系，即具有：

1．反身性：對于任何圖形F，有 F≌F.

2．對稱性：對于圖形F₁ 和F₂，若 F₁≌F₂，則F₂≌F₁.

3．傳遞性：對于圖形F₁, F₂, F₃，若 F₁≌F₂ , F₂≌ F₃，則F₁≌F₃.

兩個全等形重合時其重合的幾何元素稱為對應元素，如對應點、對應邊、對應角等.兩個全等形，若經過的變換隻包括平移和旋轉，即經過剛體運動（即第一種正交變換）而重合，則稱為正向全等形或同向全等形；若經過的變換必須包括一個（且隻有一個）反射（即不是剛體運動）才能重合，則稱為逆向全等形或反向全等形.特别是隻經過一次反射而重合的反向全等形，在空間中是經過鏡面反射，因此在立體幾何中把這種反向全等形稱為鏡像全等形或鏡照全等形.

三角形的全等（ congruence of triangles ）三角形間的等價關系.兩個三角形的全等是指圖形的全等，即它們經過合同變換能完全重合.這兩個三角形也稱全等三角形.△ABC 和 △A'B'C'全等，記為△ABC≌△A'B'C'A ，讀作△ABC 全等于△A'B'C'.（參見“圖形的全等”).

全等三角形的判定（ decision of congruent triangles )

判定三角形全等的幾個充分條件，滿足下列五個條件之一的兩個三角形為全等三角形：

1．兩邊和夾角對應相等.（SAS）

2．兩角和夾邊對應相等.（ASA）

3．三邊對應相等.（SSS）

4．兩個角和其中一角的對邊對應相等.（ASA，AAS）

5．兩邊及其中大邊所對角對應相等.

全等三角形的性質（ property of congruent triangles )對三角形全等的幾種刻畫，也是三角形全等的幾個必要條件.兩個全等三角形具有下列性質：

1．對應邊相等.

2．對應角相等.

3．對應中線、高、角平分線、外接圓半徑、内切圓半徑相等.

4．對應線段組成的角相等.

5．周長和面積相等.

直角三角形全等的判定（ congruent decision of a right triangle ）

判定直角三角形全等的幾個充分條件.滿足下列條件之一的兩直角三角形全等：

1．兩條直角邊對應相等.

2．一條直角邊及一個銳角對應相等.

3．斜邊及一銳角對應相等.

4．斜邊及一條直角邊對應相等.

以上内容來自《數學辭海》第一卷。

溫馨提示全等三角形的判定沒有邊邊角，也沒有角角角。邊邊角無法确定三角形全等,根源于圓與直線可以有兩個交點,或者說是作圖原理決定了邊邊角不能證明三角形全等.

角角角可以判定兩個三角形相似，但無法斷言它們的相似比是1：1。

文by劉麗芳

大家好，我是一個三角形。但我不是一個孤獨的三角形，我有許多兄弟，不管在哪一定有我的同胞，也就是總會有三角形和我一模一樣。人們管我們叫全等三角形。

人們把形狀相同、大小相同、能夠完全重合的三角形叫作全等三角形。進入八年級後，大家就要研究我們了。無論我的同胞在哪，以什麼姿态出現，我們的形狀和大小都是相同的，在經過平移、翻折、旋轉（圖形的三大變換）後，我們可以完全重合。

如果把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫作對應頂點，重合的邊叫作對應邊，重合的角叫作對應角。

我們的“對應邊”“對應角”分别相等，“對應邊上的中線、角平分線、高線”也分别相等。事實上，我們的周長、面積也分别相等。

我和我的同胞有特殊的語言。我是△ABC ，若 △DEF 與我全等，我們可以表示為△ ABC≌△DEF （如圖1)。一旦我們使用了語言“≌”，就說明我們的對應關系确定了：一是頂點對應，點 A 與點 D 、點B與點 E 、點 C 與點 F 對應；二是邊與邊對應， AB 與 DE 、 BC 與 EF 、 AC 與 DF 對應。但如果我們表示成“△ABC 與△DEF 全等”，那麼我們的對應關系就是不确定的。

圖1

運用全等三角形的定義可以判定我們全等，但這樣有時較麻煩。人們發現了一些簡單方法，如兩邊及其夾角對應相等，兩角及其夾邊對應相等，兩角及其中一角的對邊對應相等，三邊分别對應相等，都能判定我和兄弟們全等，它們依次簡稱為“ SAS "“ ASA "“ AAS "“ SSS ”。此外，對于特殊的三角形還可以特别對待。如對于兩個直角三角形，若一條直角邊和斜邊對應相等，就可以直接判定他們全等，簡稱為“ HL ”。

别看我們的判定方法多，其實還是有一定規律的。通過三角形位置變換：平移、翻折、旋轉，能很方便就找到兩個三角形對應相等的元素。

平移：将其中一個三角形沿某一直線平移一定距離，與另一個三角形相互重合，從而發現對應相等的邊和角。如圖2、圖3, △DEF 是由△ABC 向右平移而得，從而有 DE = AB 、 EF = BC 、 DF = AC 。

圖2 圖3

翻折：将其中一個三角形沿某一條直線翻折，與另一個三角形相互重合，從而發現對應相等的邊和角。如圖4,△DBC 是由△ABC 沿 BC 翻折而得，從而有 BD = AB 、 DC = AC ；同樣，圖5一圖8中的△DFE 都是由△ ABC 沿某條直線翻折得到的。

圖4 圖5 圖6 圖7 圖8

旋轉：将其中一個三角形繞某一點，向某一方向旋轉一定角度後，與另一個三角形相互重合，從而發現對應相等的邊和角。如圖9、圖10, △AEF是由△ABC繞點A逆時針旋轉一定角度而得。同學們可以試着找出對應邊和對應角。

圖9 圖10

判定我們全等的路線圖如下：

1.已知兩邊

1.1找夾角（ SAS )

1.2找直角（ HL )

1.3找第三邊（ SSS )

2.已知一邊一角

2.1邊為角的對邊，找任意角（ AAS )

2.2邊為角的鄰邊

2.2.1找已知角的另一邊（ SAS )

2.2.2找已知邊的對角（ AAS )

2.2.3找夾已知邊的另一角（ ASA )

3.已知兩角

3.1找兩角的夾邊（ ASA

3.2找任意一邊( AAS )

圖11

此外，用我們的判定方法和性質，可以證明兩個角相等或兩條線段相等。如果要證明兩個角或兩條線段的數量或大小關系，同學們可要想到我們哦！

（作者單位：江蘇省泰州市第二中學附屬初級中學）

應用全等三角形解題的例子不勝枚舉，下面我們來攻克歐幾裡得的風車這道難題，驗證全等三角形的巨大威力。

歐幾裡得的風車

上圖是歐幾裡得證明勾股定理的名場面。為解決本題，歐幾裡得作了5條輔助線，為了清晰易懂，下面的解答圖隻有三條輔助線。省略的部分可用“同理可證”代替。

解答圖

注意，因為上圖粗線三角形是直角三角形，所以點A、C、G三點共線，點A、B、H也是三點共線。

綜觀歐幾裡得的精彩論證，源自全等三角形的證明，之後證明了射影定理，于是勾股定理的證明就水到渠成。

全等三角形

注意觀察，三角形BCF繞頂點B順時針旋轉90°後，與三角形BDA重合，易證它們是全等三角形。

因為等底等高的兩個三角形面積相等，所以，同底三角形的第三個頂點在與底邊平行的直線上滑動，得到的所有三角形都面積相等。

根據這個道理，又因為矩形的對邊是平行的，所以，△FBG和△FBC面積相等。同理可證，△BDA和△BDM面積相等。

因為△BDM面積為以BL為對角線的矩形面積的½，

因為△FBG面積為正方形的½，所以矩形BL的面積等于正方形FA。

于是證明了射影定理：AB²=BM·BC，因為ML把大正方形分為兩個矩形，根據射影定理，這兩個矩形面積分别等于對應的正方形面積，從而證明了勾股定理。

歐幾裡得的這個經典證明非常精彩，也充分發揮了全等三角形的威力。希望同學們認真學習并掌握全等三角形的知識，并能夠熟練應用。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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