公約數的定義：幾個數公有的約數稱為這幾個數的公約數，其中最大的一個公約數稱為這幾個數的最大公約數。我們通過幾個例題來看看怎麼求最大公約數。

例題1：一塊長45厘米，寬30厘米的長方形木闆，把它鋸成若幹塊正方形而無剩餘，所鋸成的正方形的邊長最長是多少厘米？

• 根據題目意思，我們想要裁成的正方形的邊長必須能同時整除45厘米和30厘米，所以邊長是45和30的公約數。45和30的公約數有1，3,5,15，所以有4種裁法。
• 如果要使正方形面積最大，那麼邊長也應該最大，應該取45和30的最大公約數 15作為正方形的邊長，這樣鋸成的正方形邊長是最長的。
• 答，所鋸成的正方形的邊長最長是15厘米。

例題2：有45個草莓，60個橘子和90個蘋果，要把這些水果平均分給幾個小組，并且每個小組分得的三種水果的個數也相同，最多可以分給幾個小組?

• 根據題目意思，要能分給每個小組的水果相同，我們先找出45,60,90的公約數為1,3,5，15，其中最大公約數就是我們想求的那個數。
• （45,60,90）=15
• 答：最多可以分給15個小組。

例題3：一個數除425餘5，除500少4，除300餘6，這個數最大是多少？

• 根據題目意思，一個數除425餘5，可以轉化為420能被一個數整除，另兩個條件可以轉化為504被那個數整除，294被那個數整除，求這個數最大是多少，就是求420,504,294的最大公約數是多少。
• 425-5=420,500 4=504,300-6=294
• （420,504,294）=42
• 答：這個數最大是42。

例題4：有336個蘋果，252個橘子，210個草莓，用這三種水果最多可以分成多少份同樣的禮物？在每份禮物中，蘋果，橘子，草莓的個數是多少？

• 我們根據題目意思先求出336,252,210的公約數即
• （336,252,210）=42
• 蘋果：336/42=8(個)
• 橘子：252/42=6(個)
• 草莓：210/42=5(個)
• 答：用這三種水果最多可以分成42份同樣的禮物。在每份禮物中，蘋果8個，橘子6個，草莓5個。

例題5：用一張長1065毫米，寬568毫米的長方形紙，剪成面積相等的正方形，并且最後沒有剩餘。這些正方形的邊長最長是多少？

• 根據前面的例題我們知道這個題目隻要求出最大公約數就可以了，但是這道理目中，長和寬的數比較大，最大公約數比較男算出，這裡 教大家 一種新的求最大公約數的方法。
• 第一步：1065/568,餘497
• 第二步：568/497,餘71
• 第三步：497/71,沒有餘數，所以用71毫米為正方形的邊長正好，這也是邊長最長的正方形。

上面求兩個較大數的最大公約數的方法叫做“輾轉相除”法，通過此方法可以較快的算出最大公約數的結果。

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