經典“牛頓力學”常用于幾何的觀點，運用形象化思維的方式，研究力學體系的受力情況及運動情況，然後通過運動物體的受力與運動變化間的相互聯系和前因後果。這種方法形象，直觀，物理意義鮮明，被廣泛應用于工程實際。但由于它着眼于力，速度，加速度等矢量，給解決複雜的力學體系的運動問題帶來許多不便；再者，它僅僅局限于純力學體系的運動分析，其理論與方法難以建立與其它學科的聯系。

十九世紀發展起來的“分析力學”方法彌補了上述缺陷，它用純數學分析的方法用更具有概括性的抽象思維方式，從力學體系的一切可能的運動中挑選出實際運動的規律。這種方法盡管物理意義不如牛頓力學方法鮮明，但它給人們解決複雜力學體系的運動問題提供了又一方法；再者，由于廣義坐标，廣義力的引入使其理論在其它學科中也能廣泛的應用。建立了經典物理學向近代物理學過渡的橋梁。

下面通過分析力學與牛頓力學理論及方法的比較扼要闡述分析力學的優越性。

牛頓力學的着眼點是力，實際力學體系除受到促使其運動狀态改變的主動力，往往還存在很多限制其運動的約束條件體現這些約束的約束反作用力都要作為未知數出現于運動微分方程，使未知量增加給解算帶來許多麻煩；分析力學着眼于功和能在一定條件下，常常可以不考慮約束反作用力。如在理想條件下，用虛位移原理解決力學體系的平衡問題可撇開衆多的未知約束力，直接得出平衡條件，比用牛頓力學中剛體受力的平衡方程方便得多；達朗伯——虛位移原理解決力學體系的動力學問題，由于虛功的概念、廣義坐标的引入，也可撇開約束力得解，比用牛頓方程即由此推出的動量定理，動量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密頓原理即由此得到的分析力學一系列方程均具這一優點。從一分為二的觀點來看，這也是分析力學的缺點——不能求出約束反作用力。當把待求的約束反力或做功的約束反力作為主動力來看，分析力學的理論修改後仍能應用。

牛頓力學用矢量的方法研究力學體系的運動，着眼于力、加速度、速度等矢量，而矢量具有方向性、相對性，在坐标變換中很費事，故牛頓力學的動力學方程都與參考系極坐标系的選取有關；分析力學用标量描述力學體系的運動及變化規律，着眼于功和能廣義坐标和廣義速度等一系列标量，标量便于變換及疊加，标量形式的運動方程也是便于寫出的，且由于廣義坐标和廣義力的引入，即使超出力學的範圍也能應用，給參變量的選用也帶來了許多方便，提高了靈活性。如用拉格朗日方程，哈密頓原理或哈密頓正則方程推證極坐标系，球坐标系的質點運動方程，比用牛頓力學的方法簡便，但分析力學不如牛頓力學方法直觀物理意義也不如牛頓力學方法清晰。

牛頓力學的動量守恒定律動量矩守恒定律總是以牛頓第三定律為先決條件的；而分析力學中循環坐标對應的廣義動量守恒原理并不以牛頓第三定律為先決條件，其先決條件是拉格朗日函數或哈密頓函數中不含某廣義坐标。若拉格朗日函數中不含某廣義坐标，則對應于拉格朗日動力學的廣義動量守恒；若哈密頓函數中不含某廣義坐标，則對應于哈密頓動力學的廣義動量守恒。牛頓動力學的動量守恒定律，動量矩守恒定律都是廣義動量守恒原理對應的某循環坐标下的特例。分析力學的理論更具有概括性，廣義動量守恒原理具有更普遍的意義。

牛頓力學研究力學問題也用到功和能的概念，但其功能關系動能定理，功能原理，機械能守恒定律等，隻不過提供了力學體系運動的某一方面特征，它的注意力集中于實際實現，而在實際實現的運動中，功能關系隻能給出一個獨立的方程不能提供完全的解；分析力學則不然，它不隻是注意實際實現的運動，而是以力學體系的一切可能存在的運動中挑選出真實的運動，故分析力學中的功能關系指的是一切可能出現的運動中的功能關系，比實際實現的運動中的功能關系要豐富的多，它可以給出一組與力學體系自由度數相等的運動方程，足以确定體系的運動。如用牛頓力學中的功能關系——機械能守恒定律研究抛體運動（不計空氣阻力），隻能給出一個獨立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程則可以給出與自由度數相等的兩個獨立的運動方程，足以解決其運動。

牛頓力學機械能守恒定律中的勢能對應于所有的勢力，包括主動力和約束反力，而分析力學中的拉格朗日函數或哈密頓函數中的勢能隻對應于廣義力，廣義力隻包含主動力，故兩種勢能不同。再者，分析力學中哈密頓函數H的守恒原理，在非穩定的約束情況下

并非機械能，成為廣義能量，隻有在穩定的約束情況下

才是機械能。故牛頓力學的機械能守恒定律要求有勢力，而哈密頓函數的守恒原理要求

不顯含

且為穩定約束，它們是從不同角度讨論機械能守恒的。分析力學的廣義能量守恒比牛頓力學的機械能守恒有着更廣泛的意義。

牛頓力學定律不便于與其它形式的運動建立直接的聯系，分析力學着眼于能量，便于進一步考慮能量的量子化問題，為從經典力學向近代物理學及其它領域過渡提供了方便的“跳闆”。如哈密頓—雅可比方程量子化得到的薛定谔方程，哈密頓正則方程量子化得到量子力學的海森堡方程，經典泊松括号考慮量子化效應得到量子力學的泊松括号；哈密頓原理推廣到量子力學的變分原理等。再者，能量便于與其運動形式轉化，由于廣義坐标概念的引入使得一系列分析力學的方程都适用于非力學體系；另外，分析力學是在多維的非歐幾得空間中讨論問題的，故分析力學的理論及方法在物理學的各領域有廣泛的應用，現代的場論都好似拉格朗日形成的，分析力學在物理學中有着重要的地位。

最後讨論一下哈密頓動力學與拉格朗日動力學的關系。在處理實際問題中哈密頓動力學不如拉格朗日動力學方便，拉格朗日動力學中從拉格朗日函數可直接寫出力學體系的運動方程——拉格朗日方程；哈密頓動力學中則必須從拉格朗日函數轉到哈密頓函數才可寫出力學體系的運動方程——哈密頓正則方程，從哈密頓正則方程消去廣義動量的結果其實不過是從另一途徑達到拉格朗日方程，這樣做的結果是繞了一個大圈子。盡管用正則方程解簡單的力學問題反而不簡便，但它在求解複雜的問題中才會顯示出其優越性，更為重要的是它在理論研究上具有指導意義。它不僅又為研究動力學提供了一種有效的方法，說明求解力學問題除了拉氏方法之外，也可用哈密頓的方法，而且這種研究方法更便于推廣到近代物理的理論研究中去，它對求解天體力學，統計力學和量子力學會顯得特别優越。因此，我們應該掌握用正則方程求解力學問題的方法。這種方法，将對今後學習熱統和量子力學有用。

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