原文标題：數學“好玩”在于轉化在解題中的積極作用

作者：冀慶超

作者單位：北京大學附屬中學(100080)

《義務教育課程标準(2011年版)》中指出:“數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中,是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括”。轉化思想是重要的數學思想,在解題中利用轉化思想對解題有積極的作用.接下來就以具體問題讓學生感受轉化思想的魅力:

例題

如圖1所示，點P位于等邊△ ABC 的内部，且 ∠ACP= ∠CBP.

(1)∠BPC的度數為_______;

(2)延長BP至點D，使得PD=PC,連接AD,CD.

①依題意，補全圖形;

②證明:AD CD=BD;

(3)在(2)的條件下，若BD的長為2,求四邊形 ABCD的面積.

【分析問題】 解題的關鍵是正确尋找全等三角形解決問題，學會添加常用輔助線,利用轉化的思想解決問題.

(1)根據等邊三角形的性質解答即可;

(2)①利用射線的作法得出D點位置,并連接AD,CD.

②利用全等三角形的判定和性質以及等邊三角形的性質證明即可;

(3)關鍵是利用四邊形問題轉化成三角形問題進行解決.

一張圖後為大家揭曉答案：

【解決問題】(1)解:∵ΔABC是等邊三角形，∴∠ACB= 60° ,∴∠PCA ∠PCB=60° , ∵∠PCA=∠CBP ,∴∠PCB ∠PBC=60° ∴∠BPC=180°-60°=120°,故答案為120°.

(2)①解:如圖2所示，

②證明:∵∠CPD=180° －∠BPC=60°，PD=PC，

∴△CDP是等邊三角形，∴ CD=CP，∠DCP= ∠ACB=60°，

∴∠DCA=∠PCB ，

∵CA=CB,

∴ △ DCA≌Δ PCB，∴ AD=PB，

∴BD=PB PD=AD DC.

(3)解:

方法1:将四邊形問題轉化成兩個三角形問題,利用整體代換的思想解決問題.

如圖3，作BM⊥DA于M，BN⊥DC的延長線于N.

∵∠ADB=∠ADC－∠PDC=60°，

∴∠ADB=∠BDC=60°.

∴BM=BN=BD·sin 60° =√3 .

∴S四邊形ABCD=S△BDC S△BDA

方法2:将四邊形問題轉化成兩個三角形問題,利用整體代換的思想解決問題.

如圖4,作CM⊥BD于M，AN⊥BD于N.

∵∠CDP=∠ADP=60°,

∴CM=CD·sin 60°,

AN=AD·sin 60°,

∴S四邊形ABCD=S△BDC S△BDA

方法3:将四邊形問題轉化成一個三角形問題,利用截長補短的思想解決問題.

如圖5,延長DC,在DC的延長線截取 CE=AD.

由(2)可知BD=AD CD,∵DE=CE CD,

CE=AD,

∴BD=DE.

∵∠ADC=60°，

∴△BDE是等邊三角形

∴BD=BE.∵等邊ΔABC,∴BA=BC ，

∴ΔABD≌ΔBCE.

∴S四邊形ABCD=S△BDE = √3.

數學知識的發生、發展的過程，也是數學思想發生的凸顯的過程.在解題中重視數學思想，會起到事半功倍的效果.通過解決上述問題，發現最關鍵的是利用轉化的思想，将四邊形問題轉化成三角形問題，進而解決問題.讓學生真正體會到數學“好玩”在于解題中的轉化作用.

文章來源：

中小學數學 2022年1-2月中旬(初中)第22頁

以下是原文截圖。

本文的例題是由等邊三角形内的一個點引發延伸推出的。老師的解析非常精彩，過程中重視數學思想的滲透，為同學們提供了豐富的營養，讓人受益匪淺。

數學課最重要的東西是什麼？我認為比老師傳授的知識點更重要的是學會如何思考問題，掌握思考問題的方法。

我們學過的知識因為長時間不用，很多都遺忘了，我希望思考問題的方法大家都還記得。

什麼是教育？在受過教育之後，學到的知識都快忘光了，這時剩下的東西就是你所接受的教育。

大家有沒有思考過這樣的問題：等邊三角形内有一個動點，但是無論動點怎樣運動，有一個量始終不變。

如果你認真思考并找到答案，就能夠深刻體會到中學數學老師說過的一句話：三角形的王者是等邊三角形。

有一個經濟學家打電話請教美國幾何學家佩多，詢問一個問題：等邊三角形内一個動點無論怎樣運動，該點到三邊上的距離之和是否始終不變？

其實不用數學家出手，隻需要請教八年級學生就能夠得到滿意的答複了。

下面我們直接給出結論，論證過程請大家腦補，自行再創造出來。

設等邊三角形ABC内有一個動點P，該點到三角形的三邊距離之和為a b c=s，三角形的高為h，則有以下結論：s=h

為什麼等邊三角形會如此特殊？被譽為三角形中的王者？原因何在？

因為等邊三角形有一個重要性質：四心合一，也可以說四心重合。

問：哪四心？答：内心，外心，重心，垂心。

三角形還有一個特殊點，或者說是巧合點，那就是費馬點。

普通三角形的費馬點和重心是兩個點，而等邊三角形的費馬點和重心重合。

什麼是費馬點？請看下圖：

費馬點

正等角中心(positive isogonal centre)也稱為費馬點，是三角形的巧合點之一。

上圖所示的三角形是普通三角形，如果換成三角形中的王者——等邊三角形(正三角形)，那麼，重心和費馬點就重合了。

有的好奇寶寶可能會問，老師，有沒有負等角中心？答：如你所願，有的，請看下圖。

數學辭海第一卷截圖

接下來，我們探究一個問題，等邊三角形内的動點p在運動過程中，它到三角形的三個頂點的距離之和是否為定值？

答：不是定值。

問：這個值的極值如何求？

答：設三角形的邊長為a，高為h，有以下結論：

①當p點與三角形的頂點重合時，這個值為2a；

②當p點位于一條邊的中點時，這個值為a h；

③當p點位于三角形的重心時，這個值取最小值：2h.

顯然，a>h.

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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