如果函數在一個點上，同時不能滿足極值的三個充分條件，那麼這個點還有可能是極值點嗎？換句話說，函數是否存在同時不滿足極值三個充分條件的極值點。看完下面這道關于分段函數的極值問題，您就會明确這個問題了。

設{當x不等于0時，f(x)=x^4sin^2(1/x)；當x=0時，f(x)=0}.

(1)證明x=0是函數f的極小值點;

(2)說明在f的極小值點x=0處是否滿足極值的第一充分條件或第二充分條件.

分析：(1)這個分段函數在x=0連續，但卻不可導，即x=0是函數的不可導點。如果您要用極值的第一充分條件來判定它是不是極值點的話，那是行不通的。不信您可以自己動手試一試。這時候我們可以用極值的定義來判斷。即在x=0的某鄰域上，所有的函數值都不小于f(0)，就稱x=0是函數的極小值點，反之則是極大值點。事實上，這道題所取的這個鄰域甚至可以是全域R。

(2)之所以(1)中不能運用極值的第一充分條件來判定x=0是否函數的極值點，就是因為函數在這個點上，并不滿足第一充分條件。想要證明這一點，仍需對函數求導。然後證明函數在x=0的所有單側(左側或右側，未必要左側和右側同時滿足)鄰域内，導函數值總是存在變号的情況，就可以了。即在任一左側鄰域内，或任一右側鄰域内，肯定同時存在負導數和正導數。

證：(1)∵對任意x≠0，有f(x)=x^4sin^2(1/x)≥0，∴x=0是f的極小值點.

(2){當x不等于0時，f'(x)=x^2(4xsin^2(1/x)-sin(2/x))；當x=0時，f'(0)}；

【導函數仍是一個分段函數。這個導函數也是連續但在x=0不可導的，下面補充x不等于0時的求導過程：f'(x)=4x^3sin^2(1/x)-2x^4cos(1/x)sin(1/x)/x^2

=4x^3sin^2(1/x)-x^2sin(2/x)=x^2(4xsin^2(1/x)-sin(2/x)】

令xn=(2nπ π/4)^(-1), yn=(2nπ π/2)^(-1), (n=1,2,…)，【高等數學利用三角函數的周期性，取無窮大或無窮小量，以達到證明極小區間上的條件，是非常常見的方法】

則xn, yn>0且lim(x->無窮大)xn=lim(x->無窮大)yn=0，【說明xn, yn做自變量時，都是x=0任意右鄰域内可以取得的點】

又f’(xn)=(2nπ π/4)^(-2)·[2(2nπ π/4)^(-1)-1]<0，

f’(yn)=(2nπ π/2)^(-2)·[4(2nπ π/2)^(-1)-0]=4(2nπ π/2)^(-3)>0，

即f’在任一U ⁰(0,δ)内變号，∴f在x=0處不滿足第一充分條件.

又f”(0)=0，∴f在x=0處不滿足第二充分條件.

甚至f^(n)(0)=0，∴f在x=0處不滿足第三充分條件.

因此，可以發現，就算是一個點同時不能滿足極值的三個充分條件，它也有可能是極值點。所以極值三個充分條件的邏輯或，并不是極值的必要條件.

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