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#手動開平方#

大家在小學數學中一定都學過四則運算的計算方法，但是說到平方根計算方法，大家就不一定知道了。

實際上，早在秦朝，我國古代數學家就已經發現了，用算籌開平方的方法，這被記載在 《九章算術》中。後來，魏晉大數學家 劉徽，還在用 一張圖（見圖1）給出了 開平方的原理。

接下來，就讓小石頭 把 手動開平方的方法 介紹給大家。

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■ 問題：設 A 是一個正整數，求 A的帶餘數平方根，即，求滿足，

A = a² r (r ≥ 0)

的 整數 a 和 r ，a 取最大值 。

● 當 A較小 時，我們可以從1開始，通過不斷嘗試，找到滿足，

a²≤A＜(a 1)²

的正整數 a，就是所求平方根，然後計算出餘數，

r = A - a² ①

● 當A較大時，用①方法，效率低下，這時可以考慮将 a 分為 a,b 兩部分，設 b 部分的 位數為 n，則有，

a,b = a10ⁿ b

進而，有，

(a,b)² = (a10ⁿ b)² = a²10²ⁿ 2(a10ⁿ)b b² = a²10²ⁿ ((2a)10ⁿ b)b = a²10²ⁿ ((2a),b)b

于是，可以考慮将 A 也分為 A,B 兩部分，B 部分為 2n 位數，即有，

A,B = A10²ⁿ B

這樣，餘數為，

r = A,B - (a,b)² = (A10²ⁿ B) - (a²10²ⁿ ((2a),b)b) = (A - a²)10²ⁿ B - ((2a),b)b

其中，可以通過①方法求得 a 以及，

r₁ = A - a²

于是，有，

r = r₁10²ⁿ B - ((2a),b)b = r₁,B - ((2a),b)b

至此，可以從1開始，通過不斷嘗試，找到使得，

((2a),b)b ≤r₁,B＜((2a),(b 1))(b 1)

的 正整數 b，從而 得到 平方根 a,b，最後計算出 餘數，

r = A,B - (a,b)² ②

就可以了。

● 如果 A 還要大，則 可以将 a 分為 a,b,c 三部分，讓 b和c 都是 n位，有，

a,b,c = (a,b)10ⁿ c

同時，将 A 分為 A,B,C 三部分，讓 B 和 C 都是 2n 位，有，

A,B,C = (A,B)10²ⁿ B

然後，與上面類似，可求得，

r = (A,B - (a,b)²)10²ⁿ C - ((2(a,b))10ⁿ b)b

其中，可以通過②方法，求得 a,b 以及

r₂ = A,B - (a,b)²

于是有，

r = r₂10²ⁿ C - ((2(a,b))10ⁿ c)c = r₂,C - ((2(a,b)),c)c

最後，類似②方法，求得 正整數 c，從而得到 平方根 a,b,c 和 餘數，

r = A,B,C - (a,b,c)²

★ 總結： 這樣，對于任意大的正整數 A 都可分為 A₁,A₂,...,Aᵩ，其中 除了 A₁（小于等于 2n 位）外，其它 A₂,...,Aᵩ 都是 2n 位，同時 将 a 分為 a₁,a₂,...,aᵩ ，其中 除了 a₁（小于等于 2n 位）外，其它 a₂,...,aᵩ 都是 n 位，然後，

* 通過①方法方法 可以 計算出 a₁ 以及 r₁ = A₁ - a₁²；

* 歸納假設，已經計算出了 a₁,...,aᵢ₋₁ 以及 rᵢ₋₁ = A₁,...,Aᵢ₋₁ - (a₁,...,aᵢ₋₁)²，于是有，

rᵢ = (A₁,...,Aᵢ₋₁ - (a₁,...,aᵢ₋₁)²)10²ⁿ Aᵢ - ((2a₁,...,aᵢ₋₁),aᵢ)aᵢ = rᵢ₋₁,Aᵣ - ((2(a₁,...,aᵢ₋₁)),aᵢ)aᵢ

用 ② 方法，可求得 aᵢ 以及 rᵢ；

通過歸納的方法，最終這求得，

平方根 a = a₂,...,aᵩ

餘數 r = rᵩ

■ 問題：對于任意 正小數A，求平方根a。

☆ 可以将 A 分為 A₁,A₂,...,Aᵩ.Aᵩ₊₁,Aᵩ₊₂, ... 其中除A₁外，其它部分都是 2n 位數（小數位數若不夠，可以補零），同時 将 a分為 a₁,a₂,...,aᵩ.aᵩ₊₁,aᵩ₊₂,...，其中除a₁外，其它部分都是 n 位數，然後按照 上面的歸納方法，遞歸到 需要的精度的 小數位數 e 即可，此時有：

a = a₁,a₂,...,aᵩ.aᵩ₊₁,aᵩ₊₂,...,aₑ

※※※

以上，就是手動開平方的原理。

實際運算中 取 n = 1，并使用豎式進行運算（見圖2），

具體步驟如下：

⒈ 從小數點起，向兩邊，将A按照兩位一組，分成 A₁,A₂,A₃,...,Aᵩ.Aᵩ₊₁, ...，其中 A₁ 可能不足兩位；

⒉ 以 A₁ 為目标， 嘗試 1 到 9，找到 滿足：

◆ 乘方 小于等于 目标，即， a₁² ≤ A₁；

的 a₁ 最大值 ，并計算出餘數 r₁；

⒊ 将 餘數 r₁ 與 A₂ 拼在一起得到 r₁,A₂，以其為目标，嘗試 1 到 9，找到 滿足：

◆ 拼接 2×a₁ 後 乘以 自己 小于等于 目标，即，(2×a₁),a₂ × a₂ ≤ r₁,A₂ ；

的 a₂ 的最大值，并計算出餘數 r₂；

⒋ 将 餘數 r₂ 與 A₂ 拼在一起得到 r₂,A₂，以其為目标，嘗試 1 到 9，找到 滿足:

◆ 拼接 2×(a₁,a₂) 後 乘以 自己 小于等于 目标，即，(2×a₁),a₂ × a₂ ≤ r₂,A₂；

的 a₃ 的最大值，并計算出餘數 r₃；

⒌ ... ...

... □

圖3 是一個實際的例子。

※※※

最後，用類似的原理，還可以 分析出來 手動開立方根 的方法，大家有興趣可以自己試一試。

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