本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

《數學的力量》讀後感

作者：羅偉

作品編号：016

最近一段時間，我讀了《數學的力量》一書兩遍，該書的作者弗朗西斯·蘇，2015-2016年擔任美國數學協會（MMA）會長，是該協會百年來首位華人會長，哈佛大學博士，作者以生動的語言告訴我們，數學與人生之間有着千絲萬縷的聯系，邁入數學殿堂最大的收獲，是塑造健全的心智和人格，為人生打開更多可能。數學能讓人繁榮發展，通過數學的學習，人人都能發揮自己的潛能并幫助他人實現潛能，有尊嚴地行事，并維護他人的尊嚴，既是在充滿挑戰的環境中，也保持正直的人格。

本書由中國教育學會中學數學教學專業委員會章建躍理事長和華東師範大學鮑建生教授作序，本人作為一名普通初中教師，将讀書的感悟從微觀處與各位讀者分享，不當之處敬請批評指正！

一、數學探索

例1、如圖1，一塊長方形的蛋糕，你怎樣一刀分成兩塊，使兩塊蛋糕的面積相同？

從長方形是軸對稱圖形和中心對稱圖形的角度，這一刀的切法有很多種，可以沿着兩條對角線，或者過對邊中點的直線，實際上，過長方形的中心的任意一條直線都行，如圖2所示。

例2、如圖3，一塊由兩個長方形組成的蛋糕，你怎樣一刀分成兩塊，使兩塊蛋糕的面積相同？

圖3

這個題目，出現在一些課後輔導數學書上，方法就是做輔助線，形成兩個長方形，分别找出這兩個長方形的中心，連接形成一條直線，這條直線就把這塊蛋糕分成面積相等的兩部分，如圖4或者5所示。

例3、如圖6，一位父親在一個長方形的平底鍋裡烘制了一塊蛋糕，作為他兩個女兒放學後的甜點，在他兩個女兒還沒到家時，她的妻子走了過來，偷偷在長方形蛋糕的某個位置随機切走了一塊同樣是長方形的小蛋糕。現在，這位父親該如何在隻切一刀的情況下，平均切分剩下的蛋糕，讓兩個女兒拿到一樣大的蛋糕呢？

與例2的區别是，在長方形的内部挖去一個長方形，有了例2的經驗，這裡方法就應運而成了。分别找出這兩個長方形的中心點，連接就是一條直線，這條直線就把剩餘的蛋糕分成的形狀相同，我們可以看到，斜線上下的兩個梯形形狀相同，小長方形被分成的兩部分也形狀相同，根據等量減等量，差相等，所以兩個女兒就分得一樣大的蛋糕。

例3正是該書中的題目，從這三個例題來看，分蛋糕的方法從無數種，到兩種，到一種，但核心知識不變，這就是中心對稱的性質，展示了數學的和諧美。實際上，這個問題還可以拓展，隻要兩個圖形都是中心對稱圖形，比如外面是平行四邊形，裡面有圓，也是同樣的分割方法，如圖8所示。

圖8

這正是數學的探索，讓我們加深了對中心對稱的新認識。

二、數學意義

首先，一個定理有一定的意義，比如 “勾股定理是整個三角學的基礎，這也是幾何學中尤為重要的一個定理。”在談到證明時提到了無字證明，我以前在解決勾股容方的一個問題時，第一次接觸到無字證明，實際上，蘇科版教材的一道習題，如圖9，也可以看做無字證明吧！

圖9

這就是用數學的眼光觀察現實世界。

對意義的不斷追求，可以鍛煉我們的抽象思維能力，比如上面的分蛋糕問題，核心問題就是中心對稱，比如中考中的一些線段最值問題，剝離無關的細節之後，就是将軍飲馬問題.書中的汽車卡底盤抛錨和我們以前遇到的卡車車廂卡立交橋，作者說是汽車和輪胎的矛盾，我覺得本質就是直線和圓位置關系問題，這就是用數學的思維思考現實世界。

對意義的不懈追求可以培養我們堅韌不拔、沉着思考的品格。我們教師在遇到數學試題，要和學生一起訓練一題多解，從多方面去思考，解決問題，就會有一種愉悅感。

例4、已知條件如圖10，求正方形面積。

圖10

這個題目經過不斷地思考，可以有如下不同的解法（過程略）：

三、數學遊戲

在我們平時的教學中，可以适時适當引入數學遊戲，增添數學學習的趣味性，學生在完成遊戲的過程中，不知不覺增加了對數學知識的了解，印象也比較深刻.

在七年級學習代數式時，我就在課堂上做過下面遊戲.

例5、最近網上流傳一個小魔術，從一個人的QQ号碼能知道年齡，步驟如下（以下過程自己算，不告訴别人）：

1、QQ最後一位數的2倍加上5，再乘50，

2、所得結果加上1772，減去出生年月，

3、得到數的後兩位，就是你的年齡.

這個奧秘在哪呢？假設QQ号碼最後一位數為，出生年月為，則上述過程可列式如下：

因為年齡一般是兩位數，故得到的結果是一個三位數，百位數字是，後兩位組成的數字就是你的年齡.這裡實際運用了初中的列代數式，最後進行化簡，從而解密了這個魔術。

本題就是列式然後通過合并同類項化簡即可，用數學的語言表達現實世界在此得到了體現。

書中寫道，數學遊戲可以培養我們的好奇心，提升我們的專注力，培養我們的耐力，鍛煉我們全方位認識問題的能力，解決問題是那種苦思冥想、絞盡腦汁的過程，實際上是一場令人身心愉悅的思維鍛煉。

四、數學之美

數學蘊含美感，不同的專家有不同的分類方法，作者将數學之美分成四種類型：感官之美，驚奇之美，感悟之美和超越之美。

感官之美：就是我們憑自己的視覺、觸覺、聽覺去直觀感受的美。可以是自然的，人造的，也可以是虛拟的。比如自然中的分形圖案，如圖17。

圖17

驚奇之美：看到歎為觀止的事物後，崇敬和驚歎，心中産生好奇，感到疑惑，想對于感官之美，會引發想法和思考.比如穿牆數和歐拉公式。

例6、先看一個有趣的現象，

解：

書中的例子歐拉公式中，有五個數， 0和1代表算數，代表代數，代表幾何學，代表分析學，确實，這個公式很美。

感悟之美：是在理解過程中感受到的美，側重于推理分析。

比如悉尼歌劇院，如圖18就蘊含了感悟之美。

圖18

悉尼歌劇院的殼狀構造面臨貼瓷磚的問題，這個瓷磚不像現在的地磚、牆磚，都是平面的，它是曲面的，該需要多少模具呀，另外，這些殼狀結構的交界線在哪裡？設計師烏松感悟到這些結構都來源于球體的表面。

超越之美：是數學之美最極緻的體驗，遠遠超出了感官之美、驚奇之美、感悟之美，比如領會到了某項數學成果背後的深刻意義，或者發現這種成果和其他數學思想之間的密切聯系.張景中院士提出的教育數學我覺得算超越之美吧？

五、數學真理

真相，或者說真理，是人類最基本的渴求，我們要重視深層知識和深入探究，要想真正理解真理，就必須深入探究真理的不同層面——通過不同的視角看清真理的全貌.我們先看課本中的一個題目。

例7、如圖19是一張的正方形紙片，把它剪成塊，按圖20所示重新拼合。這4塊紙片恰能拼成一個長、寬的長方形嗎？

看起來是長方形，其實卻不是，總結幾種解法如下：

解法1: 通過直觀觀察，圖19是正方形，面積為，如果拼接後的圖20是長方形，則其面積為，但二者面積不等，說明不能拼成長方形。

解法2: 作輔助線運用相似的知識通過反證法說明，過程稍繁，略去。

解法3: 如圖21，過點作，垂足為點，下面說明不能拼成直角。

在中，=5-3=2，=5，所以，

在中，=8，，，,所以，于是點、、不在一條直線上。實際拼成的圖形如圖22所示，中間有空隙。

延伸1：那拼接後空隙形成的為什麼圖形，面積為多少呢？

解：如圖23，以為軸，為軸，建立平面直角坐标系，

所以OE∥BG，OG∥BE，于是四邊形為平行四邊形。點G（3，8）到OB的距離為

注：這樣就解釋了為什麼拼成後的“長方形”比原來正方形的面積大，事實上，因為的面積太小，所以我們用眼基本看不出來。

不斷追尋數學真理背後的深層知識，養成深入探究的習慣，可以培養我們很多優秀的品格，增強自信心。

六、數學奮鬥

奮鬥可以幫助大家養成許多優秀品格，無論在生活中何種困境，這些品格能幫助他們渡過難關，正是由于堅持不懈，才能走到終點去摘取勝利的果實。

下面說說書中的幾個學習數學的人物奮鬥的故事。

首先，作者弗朗西斯，成長于德克薩斯州南部的一個偏遠小鎮，比較喜歡數學，後考上德克薩斯，再考入哈佛大學攻讀博士學位，但入學後，因為不是畢業于常春藤盟校，也沒有系統掌握相應的研究生課程，前途目标被有的教授一口否定.作者也曾處于崩潰的邊緣，自己的課題有一個根本性的錯誤，導緻兩年的付出沒有結果，打算放棄博士學位，求職，在求職的過程中又認識到數學的重要性，以及數學對自己來說，成了生活的一部分.作者讀博最快樂的時光是擔任輔導員的日子，就是去幫助學生，讓他們認識到數學的神奇與魅力.在作者瀕臨深淵時，一個教授站了起來，對他進行了支持和鼓勵，讓他重返數學領域。

柯瓦列夫斯卡娅（1850-1891）是俄國女數學家，在偏微分方程和剛體旋轉理論等方面有重要貢獻. 在聖彼得堡、海德堡求學期間，她隻能偷聽大學課程，1870年到柏林，也不許女生聽課，卡爾·魏爾斯特拉斯隻好單獨為她輔導.她取得豐碩成果，經過四處奔波，隻有哥廷根大學1874年授予其哲學博士學位.由于性别歧視，在俄國得不到工作機會.後放棄數學，投身于小說與戲劇評論，而後回到熱愛的數學中去，取得一系列科研成果.1889年成為聖彼得堡科學院第一位女通訊院士。

我第一次聽說布爾巴基學派是在《數學哲學》一書中，布爾巴基學派是一個對現代數學有着極大影響的數學家的集體.其中大部分是法國數學家，主要的代表人物是安德烈·韋伊、迪多涅、嘉當、薛華荔等人.他們思想活躍，思維敏捷，其數學活動和數學成果對現代數學産生了相當大的影響.安德烈·韋伊的妹妹西蒙娜·韋伊沒有她哥哥聰明，但是熱愛數學，也參加布爾巴基學派的聚會，去學習數學，有時也抱怨自己與哥哥的水平差距，但是她明白了在數學學習中的努力與奮鬥，是培養優秀品格的必經之路，後成為哲學家。

克裡斯托夫與作者寫了十四封信，向他請教數學學習的問題，從數學科普到大學數學專業課，既有分析自己解題過程，還有通過自學，數學興趣的不斷提高，再到學習新的數學學科的感悟，數學的力量使他數學知識越來越豐富，對生活越來越有信心，不斷進步，還幫助其他人學習數學，他們努力着，期待着新的生活！

文中還有很多内容，數學的永恒、力量、自由、愛、集體、公正，還有其他人物與數學學習的故事……

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