關于緩和曲線、圓曲線、豎曲線的原理可以看書了解，我用幾張圖片簡單介紹一下。然後列舉幾個題目，并給出解答過程，這幾個題目可以好好參考。

基本知識點：

例題及詳細解答過程：

1、已知一條線路，起點坐标為QD(2819.272,3816.598)；交底坐标為JD(3308.546，4688.728)、裡程為DK12 212.500，曲線半徑為1000、前後緩和曲線長度為120m；終點坐标為ZD（2804.277，5813.457）。

（1）計算直緩點、緩圓點、曲中點、圓緩點、緩直點裡程及坐标；

（2）裡程DK12 606.500處有一斜交涵洞，斜交角度為60°，涵洞寬8m、長30m，如上圖所示，計算涵洞四個角點A、B、C、D的坐标

解答：（1）計算直緩點、緩圓點、曲中點、圓緩點、緩直點裡程及坐标；

内移值：p=ls²/24R=120²/24/1000=0.6m

切線增值：q=ls/2-ls³/240R²=120/2-120³/240/1000²=59.993m

α1=arctan（△Y/△X）= arctan（872.130/489.274）=60°42′25.6″

α2=arctan（△Y/△X）=arctan（1124.729/-504.269） 180°=114°8′56.2″

α=α2-α1=53°26′30.6″ α/2=26°43′15.3″

切線長：T=（R p）tanα/2 q=563.7

外距：E=（R p）secα/2-R=120.233

緩和曲線角：β=ls/2R=120/2/1000=0.06 換算：3°26′15.9″

圓曲線角：αy=α-2β=46°33′58.8″

圓曲線長：ly=R*αy/180°*π=1000*46°33′58.8″/180°*π=812.736m

ZH點裡程：JD裡程-T=K12 212.5-563.7=K11 648.8

HY點裡程：ZH點裡程 ls= K11 648.8 120=K11 768.8

QZ點裡程= HY點裡程 ly/2= K11 768.8 812.736/2= K12 175.168

YH點裡程= QZ點裡程 ly/2= K12 175.168 812.736/2= DK12 581.536

HZ點裡程= YH點裡程 ls= DK12 581.536 120= DK12 701.536

ZH點坐标：

△X=cosα1*T=cos60°42′25.6″*563.7=275.804

△Y=sinα1*T=sin60°42′25.6″*563.7=491.619

XZH=XJD-△X =3308.546-275.804=3032.742

YZH=YJD-△Y =4688.728-491.619=4197.109

HZ點坐标：

△X=cosα2*T=cos114°8′56.2″*563.7=-230.615

△Y=sinα2*T=sin114°8′56.2″*563.7=514.368

XHZ=XJD △X =3308.546 (-230.615)=3077.931

YHZ=YJD △Y =4688.728 514.368=5203.096

QZ點坐标：

外距方位角：αw=α2 （180°-α）/2=177°25′40.9″

△X=cosαw*E=cos177°25′40.9″*120.233=-120.112

△Y=sinαw*E=sin177°25′40.9″*120.233=5.395

XQZ=XJD △X =3308.546 （-120.112）=3188.434

YQZ=YJD △Y =4688.728 5.395=4694.123

HY點坐标：

X圓心= XQZ R*cosαw =3188.434 1000*cos177°25′40.9″=2189.441

Y圓心= YQZ R*sinαw =4694.123 1000*sin177°25′40.9″=4738.997

α圓心-QZ=αw 180°=357°25′40.9″

α圓心-HY=α圓心-QZ-αy /2=357°25′40.9″-46°33′58.8″/2=334°8′41.5″

XHY= X圓心 R*cosα圓心-HY=2189.441 1000*cos334°8′41.5″=3089.341

YHY= Y圓心 R*sinα圓心-HY=4738.997 1000*sin334°8′41.5″=4302.900

YH點坐标：

α圓心-YH=α圓心-QZ αy /2=357°25′40.9″ 46°33′58.8″/2-360°=20°42′40.3″

XYH= X圓心 R*cosα圓心- YH =2189.441 1000*cos20°42′40.3″

=3124.816

YYH= Y圓心 R*sinα圓心- YH =4738.997 1000*sin20°42′40.3″

=5092.655

（2）裡程DK12 606.500處有一斜交涵洞，斜交角度為60°，涵洞寬8m、長30m，如上圖所示，計算涵洞四個角點A、B、C、D的坐标

根據裡程DK12 606.500可得此涵洞在第二緩和曲線上

HZ點坐标： XHZ= 3077.931，YHZ= 5203.096

HZ點裡程：DK12 701.536 α2=114°8′56.2″

lh= DK12 701.536-DK12 606.500=95.036

X1= lh – lh⁵/40R²ls²=95.036-0.013=95.023

Y1= lh ³/6R ls=95.036³/(6*1000*120)=1.192

Xh= XHZ –X1*cos114°8′56.2″-Yh*sin114°8′56.2″=3077.931-95.023* cos114°8′56.2″-1.192*sin114°8′56.2″=3077.931 38.875-1.088= 3115.718

Yh= YHZ - Xh*sin114°8′56.2″ Yh*cos114°8′56.2″=5203.096-86.707 （-0.488）=5115.901

αh=α2-βh=114°8′56.2″-2°9′22.3″=111°59′33.9″

αh-（A-B）=αh-120° 360°=351°59′33.9″

X A-B=Xh 15*cos351°59′33.9″=3115.718 14.854=3130.572

Y A-B=Yh 15*sin351°59′33.9″=5115.901-2.089=5113.812

αA=αh-（A-B）-90°=351°59′33.9″-90°=261°59′33.9″

XA= X A-B 4*cosαA =3130.572 4*cos261°59′33.9″=3130.015

YA= Y A-B 4*sinαA =5113.812 4*sin261°59′33.9″=5109.851

XB= X A-B 4*cosαA =3130.572 4*cos81°59′33.9″=3131.129

YB= Y A-B 4*sinαA =5113.812 4*sin81°59′33.9″=5117.773

X C-D=Xh 15*cos171°59′33.9″=3115.718-14.854=3100.864

Y C-D=Yh 15*sin171°59′33.9″=5115.901 2.089=5117.990

XC= X C-D 4*cosαA =3100.864 4*cos261°59′33.9″=3100.307

YC= Y C-D 4*sinαA =5117.990 4*sin261°59′33.9″=5114.029

XD= X C-D 4*cosαA =3100.864 4*cos81°59′33.9″=3101.421

YD= Y C-D 4*sinαA =5117.990 4*sin81°59′33.9″=5121.951

2、已知某高速公路左右分離式隧道，基底寬度MN=10米，如下圖所示：ZH點裡程為DK5 540，坐标為（X=3519274.833，Y=500171.301）ZH點到JD的坐标方位角為99°32′00.3″，隧道洞門裡程為DK5 620，位于右偏曲線的緩和曲線上，該緩和曲線參數A=200。

根據所給建築物與線路的位置關系，完成下列要求（計算結果精确到1mm）：

1、計算DK5＋620線路中線點O處的曲線半徑R及O點線路中心線的切線方位角；

2、計算洞門DK5＋620線路中線點O的坐标；

3、計算隧道洞門基底M、N點坐标；

解答：

1、計算DK5＋620線路中線點O處的曲線半徑R及O點線路中心線的切線方位角；

答：lo= DK5＋620- DK5 540=80

A²=l*R R=A²/lo=40000/80=500

β=lo²/2Rlo=0.08 換算4°35′1.2″

αo=α1 β=99°32′0.3″ 4°35′1.2″=104°7′1.5″

2、計算洞門DK5＋620線路中線點O的坐标；

答： X1= lo – lo⁵/40R²lo²=80-0.051=79.949

Y1= lo ³/6R lo=80³/(6*1000*80)=2.133

D=√（X1² Y1²）=79.977

弦長夾角：Arctan Y1/X1=1°31′41.7″

弦長方位角α=99°32′0.3″ 1°31′41.7″=101°03′42″

Xo=XZH D*cosα=3519274.833 （-15.345）=3519259.488

Yo=YZH D*sinα=500171.301 78.491=500249.792

3、計算隧道洞門基底M、N點坐标；

答：αM=αo-90°=104°7′1.5″-90°=14°7′1.5″

αN=αo 90°=104°7′1.5″ 90°=194°7′1.5″

XM=Xo D*cosαM=3519259.488 4*cos14°7′1.5″=3519263.367

YM=Yo D*sinαM=500249.792 4*sin14°7′1.5″=500250.768

XN=Xo D*cosαM=3519259.488 6*cos194°7′1.5″=3519253.670

YN=Yo D*sinαM=500249.792 6*sin194°7′1.5″=500248.328

3、已知一道路,起點裡程DK0 380，該處高程為28.619m；DK0 430處高程為27.347m，豎曲線半徑為600；終點裡程為DK0 460,該處高程為29.666m，分别計算DK0 389.21、DK0 417.77、DK0 439.04、DK0 468.08處的高程。

解答：

i1=（27.347-28.619）/（430-380）=-0.02544

i2=（29.666-27.347）/（460-430）=0.0773

ω= i2- i1=0.0773-（-0.02544）=0.10274 為凹曲線

曲線長L=R*ω=600*0.10274=61.644

切線長T=L/2=61.644/2=30.822

豎曲線起點裡程：=（K0 430）-30.822= K0 399.178

豎曲線終點裡程：=（K0 430） 30.822= K0 460.822

豎曲線起點高程：=27.347 30.822*0.02544=28.131

豎曲線終點高程：=27.347 30.822*0.0773=29.730

1、DK0 389.21 判定該點位于i1直線上

H=27.347 （430-389.21）*i1=28.385

2、DK0 417.77 判定該點位于前半豎曲線上

L=417.77-399.178=18.592

豎距h=L²/2R=18.592²/2/600=0.288

切線點高程H1=28.131-18.592*i1=28.131-0.473=27.658

實際高程H=H1 h=27.658 0.288=27.946

3、DK0 439.04 判定該點位于後半豎曲線上

L=460.822-439.04=21.782

豎距h=L²/2R=21.782²/2/600=0.395

切線點高程H1=29.730-21.782*i2=29.730-1.684=28.046

實際高程H=H1 h=28.046 0.395=28.441

4、DK0 468.08 判定該點位于i2直線上

H=29.730 （468.08-460.822）*i2=30.291

4、已知一道路,起點裡程DK0 050，該處高程為8.000m；DK5 260處高程為35.000m，豎曲線半徑為250000；終點裡程為DK8 405,該處高程為8.000m，分别計算DK3 100.956、DK5 000.125、DK5 650.500、DK7 627.515處的高程。

答：i1=（35-8）/（5260-50）=0.00518

i2=（8-35）/（8405-5260）=-0.008585

ω= i2- i1=-0.008585-0.00518=-0.01376 為凸曲線

曲線長L=R*ω=250000*0.01376=3441.264

切線長T=L/2=3441.264/2=1720.632

豎曲線起點裡程：=（K5 260）-1720.632= K3 539.368

豎曲線終點裡程：=（K5 260） 1720.632= K6 980.632

豎曲線起點高程：=35-1720.632*0.00518=26.087

豎曲線終點高程：=35-1720.632*0.008585=20.228

1、DK3 100.956 判定該點位于i1直線上

H=26.087-（K3 539.368- K3 100.956）*i1=23.816

2、DK5 000.125 判定該點位于前半豎曲線上

L=5000.125-3539.368=1460.757

h=L²/2R=1460.757²/2/250000=4.267

切線點高程H1= 33.654

實際高程H=H1-h=29.387

3、DK5 650.500 判定該點位于後半豎曲線上

L=6980.632-5650.5=1330.132

豎距h=L²/2R=1330.132²/2/250000=3.538

切線點高程H1=31.647

實際高程H=H1-h=31.647-3.539=28.109

4、DK7 627.515 判定該點位于i2直線上

H=20.228-（7627.515-6980.632）*i2=14.675

5、有一段高速鐵路，平曲線為單交點，起點裡程為K00 000.000，坐标為（803121.767, 1207813.609）,交點坐标為（804908.483，1214608.078）、半徑為12000m、前後緩和曲線長度為230m，終點坐标為（802629.608，1219248.846），如圖1所示：該段路線，隻有一個豎曲線，其中起點軌面标高為325.526m，裡程K11 085.00處軌面标高為266.000m，半徑為6000，終點處标高為302.650m，如圖2所示。在裡程K11 125.345處有一個橋墩，該處立面結構如圖3所示；該橋墩橫向預偏心為30cm，有6根鑽孔樁，幾何尺寸如圖4所示；

（1） 計算K11 125.345處軌面标高、墊梁石标高、承台頂面标高；

（2） 計算6根鑽孔樁坐标及樁頂标高。

第五題可自行解決。

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