混沌的秘密，不可思議地隐藏在分形的世界裡。

分形（fractal），該術語最早是由美國數學家曼德勃羅（Mandelbrot）于1973年提出。

曼德勃羅（1924-2010）（圖片來源網絡）

在其名著《大自然的分形幾何學》中，曼德勃羅開創了分形幾何學。分形幾何以及與其相關的非線性理論，很快就顯示出強大的生命力，其影響迅速遍及科學和社會的每個角落。許多學科中的難題，因為分形的介入而煥然一新。如夢初醒的科學家才發現，原來分形的身影已經在世界上默默存在了數億年，從地球誕生始就向大自然昭示其深邃的奧秘。

植物的分形（圖片來源：網絡）

生活中常見的花菜、雷雨過後的閃電、凜冬漫天飛舞的雪花、貝殼身上的螺旋圖案，小至各種植物的結構及形态，遍布人體全身縱橫交錯的血管，大到天空中聚散不定的白雲、連綿起伏的群山，它們都或多或少表現出分形的特征。乍看起來雜亂無章的分形，原來是大自然的基本存在形式，無處不在，随處可見。

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分形如此廣泛地分布在自然界中，卻又與千百年來的智者擦肩而過。它的發現，正式揭開了大自然最迷人和動人的奧義之一。

早在兩千多年前的古希臘時代，人們最傑出的成就來自數論與幾何，特别是歐幾裡得幾何的建立，更使得幾何學成為最嚴格和易于把握的公理化體系。

幾何研究的對象是圖形。為了研究不同的幾何對象，人們傾向于把它們進行歸類。從點、線、面到立體，人們的思維逐漸擴展開來。漸漸地，人們意識到區别幾何圖形的重要分水嶺：維度。直線和曲線是一維的圖形，平面則是二維的圖形，立體則屬于三維的空間。

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一切都是那麼的直觀，曆史在平靜地流淌。直到有一天，一件匪夷所思的事打破了人們對維度的信念。

1890年，意大利數學家皮亞諾（Piano）構造了一種奇怪的曲線，該曲線自身并不相交，但是它卻能通過一個正方形内部所有的點。換句話說，這條曲線就是正方形本身，進而應該擁有和正方形一樣的面積！這個怪異的結論讓當時的數學家大吃一驚，更讓數學界感到深切的不安：如此一來，我們拿什麼來區分曲線和平面？這條曲線究竟是一維，還是二維？經典的幾何在它面前束手無策。這隻被放逐出來的怪獸，正式奏響了分形幾何研究的序曲。

皮亞諾曲線（圖片來源：Wikipedia）

維度概念的擴展，則得益于德國數學家豪斯多夫（Hausdorff）。他在1919年提出了維度的新定義。該定義為人們成功驅散了籠罩在分形曲線身上的迷霧奠定了基礎。

在傳統的觀念下，一個空間的維數等于決定空間中任何一點位置所需要變量的數目。比如我們生活的空間之所以是三維空間，源自我們需要三個數值：經度、緯度和高度來确定物體在空間中的位置。這樣的定義無比符合人們的直觀，也因此在數千年間都被奉為圭臬。但是這種定義維度的方式，排除了分數維的可能。

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豪斯多夫另辟蹊徑，從物體的自相似性來定義維度。自相似性，顧名思義，就是“一個圖形的自身可以看成是由許多與自己相似的、大小不一的部分組成的”。比如一條線段是由兩個與原線段相似、長度一半的線段接成。一個立方體，則可以看成是由8個大小為自身八分之一的小立方體組成。

簡而言之，如果一個圖形按照N∶1的比例縮小後。如果原來的圖形可以由M個縮小之後的圖形拼成的話，這個圖形的維數d，就是豪斯多夫維數，定義為 d = ln(M)/ln(N). 在豪斯多夫的定義下，皮亞諾的曲線恰好就是二維！因此它能填滿正方形并不奇怪。

皮亞諾曲線就是一條自相似的曲線。它身上揭示了分形的諸多特征：具有自相似性、具有無窮多的層次和細節，可以被無限放大、永遠都有結構，最令人驚異的是，它還可以是分數維。比如著名的科赫雪花曲線就是1.26維，謝爾賓斯基三角形則是1.58維。

雪花的分形（圖片來源：網絡）

皮亞諾曲線發現後的83年，曼德勃羅首次提出了分形幾何的概念。他在一次公開演講中提出了一個看起來讓衆人乏味的問題：英國海岸線究竟有多長？

人們會輕描淡寫地回答：隻要用儀器去測量就行啊，隻要測量得足夠精确，總能得到想要的結果。然而，出乎所有人的意料，如果用不同大小的度量标準來測量海岸線的長度，每次竟然會得出完全不同的結果。當度量标準的尺度越小，測量出來的海岸線的長度會越來越長！随着測量精确的提高，英國海岸線的長度也在迅速趨于無窮！多年以後，科學家們才發現，英國海岸線是一個複雜的分形曲線。根據多次測量所得的結果，英國海岸線的分形維數大約等于1.25。

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更令衆人吃驚的是，英國海岸線裡隐藏的秘密竟然也和人體的生命構造息息相關。分形的發現，則将人們引向越來越奇異的科學探索之旅。大自然，處處都彰顯出偉大的和諧與統一。

(未完待續)

下期預告：混沌與分形（三）：人體竟是分形的傑作？！

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參考文獻：

1. 《數學的故事》，伊恩.斯圖爾特著, 上海辭書出版社，2013。

2. 《從混沌到有序人與自然的新對話》，伊裡亞·普裡戈金、斯唐熱著，上海譯文出版社，1987。

3. 《複雜》，米歇爾.沃爾德羅普著，生活·讀書·新知三聯書店，1997。

4. 《蝴蝶效應之謎》，張天蓉著，清華大學出版社，2013。

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