1和0.9的無限循環哪個大？學過高等數學的人都知道，這是一個求極限的問題：毫無疑問，0.9的無限循環就等于1。然而學物理的我并不這麼認為，在我看來：0.9的無限循環就是0.9的無限循環，可以無限接近于1，但是并不等于1，它們之間有着本質性的區别。這是客觀性所決定的，這一點點的區别決定着是科學還是謬誤。

圖1 數學上是 0.9的無限循環等于1

讓我們來看一下在物理學家眼中0.9的無限循環和1的本質性不同都有哪些：

一、無限的意義是什麼？

0.9的無限循環真的可以嗎？如果讓一個數學家去回答這個問題，答案當然就是肯定的，這沒毛病。然後把這個問題抛給一個物理學家去回答的話，物理學家會陷入沉思，并且告訴你，這需要通過實驗去驗證。

物理學家得到的結論是，在目前的理論框架下，0.9不能無限循環，因為時空是有最小單位的，那就是普朗克時間和普朗克長度。我們這裡不去讨論普朗克時間和普朗克長度的來源，因為這涉及到了引力量子化和大統一理論，目前也隻是一個半經典的方程。

在物理學中，由于0.9不能無限循環，因此0.9的循環和1擁有完全不同的物理意義，它們是不相等的，0.9的循環小于1。

圖2 無限多面鏡子的影像

二、有質量的物質的運動速度不能達到光速

高中物理課上，我們都接觸過狹義相對論中的洛倫茲協變公式。在質速方程式中我們可以看到，任何一個有質量的物體，如果速度被加速到接近光速，那麼它的質量将變得無窮大。我們當然是沒有那麼多的能量能辦到這種事。如果把光速看做是1的話，即使是一個電子我們也隻能是把它加速到0.9的無限循環，但永遠都不可能等于1,。因為，這要消耗掉整個宇宙的能量。所以1和0.9的循環有着本質的區别。

圖3 大型粒子加速器

三、0.9無限循環不能等于1關乎着宇宙是開放還是閉合

如果我們把0.9的無限循環看做是我們現在這個宇宙的曲率，那麼即使它是無限接近于1的，也意味着，我們的這個宇宙是個封閉的宇宙。當宇宙的曲率等于一時，我們就是一個平坦的開放的宇宙。這是完全不同的兩種情況。數學家不應該讓0.9的無限循環等于1。

四、概率統計中的問題

關于無限小是不是有意義的問題也引起了一大批統計學家的關注，今年年初三位統計學家聯名發在《自然》雜志上發表了一封公開信，質疑了統計學課本中寫到的：“沒有統計顯著性則不能‘證明’零假設（關于兩組之間無差或者兩個實驗組和對照組的假設）。同時，統計顯著性也不能‘證明’其他假設。”。他們表示，這種誤解用誇大的觀點扭曲了文獻，而且導緻了一些研究之間的沖突。這一質疑迅速得到了，超過800名科學家的支持。

圖4 大數據與統計學

《自然》雜志連續刊發了超過40篇論文都是關于：“21世紀統計推斷：P＜0.05以外的世界”的學術論文。這三位科學家指出，他們并不是要禁止P值的使用，而是提議在常規的二分法的情況下不使用P值來決定一個結果是否反駁一個科學假設。其實如果讓0.9的無限循環等于1，相當于在數學上正是否定了0.1的無限次方這個無窮小量的真正意義。

五、數學家的争議

寫到這裡，可能有些學數學的小夥伴已經看明白了，這其實就是數學上所謂的第二次數學危機的問題。早在公元前450年，芝諾就注意到由于對無限性的理解問題而産生的矛盾，提出了關于時空的有限與無限的四個悖論。到了17世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科。當時一些數學家和其他學者，也批判過微積分的一些問題，指出其缺乏必要的邏輯基礎。

圖5 集合論的問題

直到19世紀20年代，威爾斯特拉斯在前人工作的基礎上，消除了其中不确切的地方，給出現在通用的極限的定義，連續的定義，并把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上。然而關于無窮小量的争議并沒有因此就結束，關于第二次數學危機，自其爆發開始直到二十一世紀，始終都存在着不同意見。

圖6 阿克克琉斯追不上烏龜

總結

通過前面的分析我們看到，物理學上的0.9無限循環小數和1之間有着本質性的區别，無窮小量有它特殊存在的意義，它的價值和前面的0.9無限循環并沒有什麼不同。其實本文并不是一個簡單的0.9的無限循環是否等于1這個問題的争論，我想說明的問題是：如果我們不能給數學賦予一定的意義，那麼數學存在的意義是什麼？科學向來講究的是求真、求實，向客觀存在探讨真理是科學的本質。希望有一天科學家能夠找到最終答案，在0.9的無限循環這個問題面前不再彷徨。

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