很久以前，人們在生産勞動中就有了計數的需要。例如，人們出去打獵的時候，要數一數共出去了多少人，拿了多少件武器；回來的時候，要數一數捕獲了多少隻野獸等等，這樣就産生了數。人類是動物進化的産物，最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸産生了數的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。結繩記事也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《易經》中有結繩而治的記載。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符号。

數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符号卻大小相同。

2. 記數符号、計數方法的産生

在遠古時代人們雖然有計數的需要，但是開始還不會用一、二、三……這些數詞來數物體的個數。隻知道“同樣多”、“多”或“少”。那時人們隻能借助一些其他物品，如在地上擺小石子、在木條上刻道、在繩上打結等方法來計數。比如，出去放牧時，每放出一隻羊，就擺一個石子，一共出去了多少隻羊，就擺多少個小石子；放牧回來時，再把這些小石子和羊一一對應起來，如果回來的羊的隻數和小石子同樣多，就說明放牧時羊沒有丢。再如，出去打獵時，每拿一件武器，就在木棒上刻一道，一共拿了多少件就在木棒上刻多少道；打獵回來時，再把拿回來的武器和木棒上刻的道一一對應起來，看武器和刻道是不是同樣多，如果是，就說明武器沒有丢失。結繩計數的道理也是這樣。這些計數的基本思想就是把要數的實物和用來計數的實物一個對一個地對應起來，也就是現在所說的一一對應。以後，随着語言的發展逐漸出現了數詞，随着文字的發展又發明了一些記數符号，也就是最初的數字。各個國家和地區的記數符号是不同的。

古羅馬的數字相當進步，現在許多老式挂鐘上還常常使用。

實際上，羅馬數字的符号一共隻有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。這7個符号位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數：

1．重複次數：一個羅馬數字符号重複幾次，就表示這個數的幾倍。如：III表示3；XXX表示30。

2．右加左減：一個代表大數字的符号右邊附一個代表小數字的符号，就表示大數字加小數字，如VI表示6。一個代表大數字的符号左邊附一個代表小數字的符号，就表示大數字減去小數字的數目，如IV表示4，XL表示40，VD表示495。

我國古代也很重視記數符号，最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數的符号，不過難寫難認，後人沒有沿用。到春秋戰國時期，生産迅速發展，适應這一需要，我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法——籌算。籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的。按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。随着籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符号了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。

從算籌數碼中沒有10這個數可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進制。9位以上的數就要進一位。同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計算法在當時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。但籌算數碼中開始沒有零，遇到零就空位。比如6708，就可以表示為┴ ╥。數字中沒有零，是很容易發生錯誤的。所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與零的出現有關。不過多數人認為， 0這一數學符号的發明應歸功于公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（·）表示零，後來逐漸變成了0。

說起0的出現，應該指出，我國古代文字中，零字出現很早。不過那時它不表示空無所有，而隻表示零碎、不多的意思。如零頭、零星、零丁。一百零五的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。随着阿拉數字的引進。105恰恰讀作一百零五，零字與0恰好對應，零也就具有了0的含義。

現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。

數的概念、數碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果。

随着生産、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？于是分數就産生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數。

随着社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又産生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。

3數字發展史上可笑又可怕的流血事件

但是，在數字的發展過程中，一件不愉快的事發生了。讓我們回到大經貿部2500年前的希臘，那裡有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數學、科學和哲學的團體。他們認為數是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數是指整數。分數的出現，使數不那樣完整了。但分數都可以寫成兩個整數之比，所以他們的信仰沒有動搖。但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時，發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它。如果設這個數為X，既然，推導的結果即x2=2。他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x，根據勾股定理x2=12 12=2，可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數，這個數肯定是存在的。可它是多少？又該怎樣表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最後認定這是一個從未見過的新數。這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚，動搖了他們哲學思想的核心。為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌，他們規定對新數的發現要嚴守秘密。而希帕索斯還是忍不住将這個秘密洩露了出去。據說他後來被扔進大海喂了鲨魚。然而真理是藏不住的。人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率就是最重要的一個。人們把它們寫成π、等形式，稱它們為無理數。

如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有0。其實在公元5世紀時，0已經傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用0。有一位羅馬學者在筆記中記載了關于使用0的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。

現在，0已經成為含義最豐富的數字符号。0可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫0℃，并不是說沒有氣溫；0是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的階乘等于1）。

除了十進制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進制、二進制、三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、六十進制等多種數字進制法。在長期實際生活的應用中，十進制最終占了上風。

有理數和無理數一起統稱為實數。在實數範圍内對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程度。這時人類的曆史已進入19世紀。許多人認為數學成就已經登峰造極，數字的形式也不會有什麼新的發現了。但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。于是數學家們就規定用符号i表示-1的平方根，即i²=-1，虛數就這樣誕生了。i成了虛數的單位。後人将實數和虛數結合起來，寫成a＋bi的形式（a、b均為實數），這就是複數。在很長一段時間裡，人們在實際生活中找不到用虛數和複數表示的量，所以虛數總讓人感到虛無缥缈。随着科學的發展，虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用，在掌握和會使用虛數的科學家眼中，虛數一點也不虛了。

數的概念發展到虛和複數以後，在很長一段時間内，連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了，數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了四元數的概念。所謂四元數，就是一種形如的數。它是由一個标量（實數）和一個向量（其中x 、y 、z 為實數）組成的。四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時，人們還開展了對多元數理論的研究。多元數已超出了複數的範疇，人們稱其為超複數。

由于科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷産生，把數學研究推向新的高峰。這些概念也都應列入數字計算的範疇，但若歸入超複數中不太合适，所以，人們将複數和超複數稱為狹義數，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數。盡管人們對數的歸類法還有某些分歧，但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一緻的。到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。

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