一、空間幾何體的體積用到轉化與化歸思想的常見題型：

1、求某些三棱錐、四棱錐體積：

求解過程中當高不易求時，常需轉換頂點利用等體積法解決．

2、不規則幾何體的體積的求解：

求解時， 常結合所給幾何體的結構特征及條件，通過割、補等手段轉化為規則幾何體體積的和、差求解．

二、典例剖析：

【例題】如圖所示，在四棱錐 P-­ABCD 中 ，底面 ABCD 為正方形，PD⊥平面 ABCD，

PD＝AB＝2，E，F，G 分别為 PC，PD，BC 的中點．

求：

① 四棱錐 E-­ABCD 的體積；

② 三棱錐 P-­EFG 的體積．

【解題思路】　

① 看到 E 到平面 ABCD 的距離不易求，想到轉化與化歸思想，

EF∥平面 ABCD 轉化為求 _{F­-ABCD 的體積}；

② 看到 P 到平面 EFG 的距離不易求，想到轉化與化歸思想轉化為求 _{G­-PEF 的體積}.

【解析】

①

∵ E，F 分别為 PC，PD 的中點，

∴ EF∥DC，

又∵ DC ⊂ 平面 ABCD，

∴ EF∥平面 ABCD，

∵ PD⊥平面 ABCD，

∴ FD⊥平面 ABCD，且 FD＝1/2PD＝1，

②

∵ PD⊥平面 ABCD，GC ⊂ 平面 ABCD，

∴ GC⊥PD.

又∵ ABCD 為正方形，

∴ GC⊥CD.

∵ PD∩CD＝D，

∴ GC⊥平面 PCD.

∵ PF＝1/2 PD＝1，EF＝1/2 CD＝1，

∴ S_△PEF＝1/2 EF×PF＝1/2 .

∵ GC＝1/2 BC＝1，

習題練習

一個空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為 12π ＋ 8√5/3，

則該幾何體的正(主)視圖中 x 的值為 ( )

A．5 B．3 C．4 D．2

【解析】　

由三視圖知，幾何體是一個組合體，上面是一個正四棱錐，四棱錐的底面是一個對角線為 4 的正方形，側棱長是 3，如下圖所示：

根據勾股定理知正四棱錐的高是

下面是一個圓柱，底面直徑是 4，母線長是 x，

因為該幾何體的體積為 12π ＋ 8√5/3，

【答案】　B

三、知識總結：

1．必記公式

(1) 表面積公式

表面積＝側面積＋底面積，其中：

① 多面體的表面積為各個面的面積的和；

② 圓柱的表面積公式：

③ 圓錐的表面積公式：

④ 圓台的表面積公式：

⑤ 球的表面積公式：

(2) 體積公式

2．重要結論

① 畫三視圖的基本要求：

正俯一樣長，俯側一樣寬，正側一樣高；

② 三視圖排列規則：

俯視圖放在正(主)視圖的下面；側(左)視圖放在正(主)視圖的右面．

3．易錯提醒

① 未注意三視圖中實、虛線的區别：

在畫三視圖時應注意看到的輪廓線畫成實線，看不到的輪廓線畫成虛線．

② 不能準确分析組合體的結構緻誤 ：

對簡單組合體表面積與體積的計算要注意其構成幾何體的面積、體積是和還是差．

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!