高一新生剛接觸角的弧度制，往往隻是将其理解為簡單的角的單位，沒有關注它的來曆和意義，今天我們就來簡單聊聊……

要理解弧度制的意義要從三角函數說起。很多人會說，那還不簡單，我初中時就學三角函數了。不過，初中時的三角函數主要是從幾何角度定義的，沒有代數上的函數意義（因為确切的函數概念也是高中才引入）。弧度制的定義其實還關乎數學的底層邏輯。不過，我們先看看高中數學書上是怎麼引入弧度制的：

這裡的引入确實簡單，沒有過多的理由，原因僅僅是“為了使用的方便”，這一略顯突兀的解釋卻也道出了弧度制的核心優點，它确實使整個數學世界都變得“方便”。

我們先回憶一下角度制，角度制是将圓周分為360等份，每一份叫一度。由于地球的公轉，地球上的我們就像看走馬燈一樣，在特定的時間看到特定的星座。古人發現了這個規律，并且以星座為參照物，近似觀察出循環周期為360天，也就是一年。因此，天就被等分成了360份，也就是圓被等分成了360份，以此創立了角度制衡量角的大小，說的确切一點角度制是從圓周運動的觀察者角度出發來定義的。這種角度的衡量标準，在三角函數出現之前是沒用必要調整和改變的，弧度制的設置可以說是為三角函數做準備。

而弧度制則是從圓周運動進行者的角度來定義的。古人的世界觀是天圓地方，人們的旅行都被視為直線運動。歐式幾何裡面的直線筆直的延伸到無窮遠處。可是，事實是，地球是圓的，随着技術的發展，大航海時代的來臨，大家越來越認識到這一點。傳統意義上的直線，在地球表面都不複存在，必須重新定義球面距離的含義。弧度制也是在這樣的背景下開始萌發。

用單位圓上點的圓周運動引出了弧度。用單位圓上點随半徑旋轉運動的弧長大小（不包括單位）定義此時圓心角的大小，将這種角衡量标準叫做弧度制。

從弧度的定義可以看出，弧度是一個沒有量綱的量（如實數一樣） ，因為弧長比半徑，長度單位被約掉了（有種相對原子質量的感覺），這裡注意rad隻是弧度的符号，并不是量綱意義上的單位。

在這種弧度的定義下就将角與實數建立了聯系（用數表示角），數和角本是兩個獨立的概念（一個是幾何概念，一個是代數概念）我們用數來衡量角，給角一個标度，就是将角度實數化。弧度就是實數化的角度量化标準。為什麼要這樣呢，這也是為了三角函數。以正弦為例，正弦的定義是直角三角形中對邊與斜邊的比值（這是原始定義）

從正弦定義出發我們構建正弦函數y=sinx，正弦函數是以角度為定義域以正弦值為函數值的函數。要知道函數是兩個數集之間的一種對應，y=sinx中函數值y是實數，需要将定義域x也擴展為實數，角度制顯然不滿足這種要求。為将正弦函數的定義域擴展到整個實數，這就修改了正弦的定義（見高中數學任意角的三角函數）：

所以正弦這個本來幾何上定義的概念就有了代數意義，正是弧度制使得幾何與代數的整合成為可能（弧度制也可以說是在這種幾何與代數的整合背景下創立） 弧度制簡單來說就是:把180°對應到π，然後三角函數裡面的操作就可以都是實數了,以前的sin(90°),cos(30°)就變成sin(π/2),cos(π/6)......"三角函數"也成了真正的函數(角數對應→數數對應），比如正弦函數的圖象畫出來，橫坐标和縱坐标的單位都應該是數（确切的說是實數，使得三角函數的定義域有了數的意義）

那為啥把180°對應到π這個無理數,為啥不找個好點的數來對應呢?說直白點就是為什麼用弧長和半徑的比值來定義。要将角度實數化（角與實數構建對應），方法應該很多，比如這裡有個很好的設計:

把周角對應到1,然後平角就是1/2,直角就是1/4......占幾分之幾就對應到幾分之幾,若要取個名字，不如就叫——轉角制，這感覺很和諧啊,這方案可行嗎?

要知道角度是客觀存在的,比如周角,平角,直角...具體數值則是一個度量标準,是可以人為設定的。

所謂的度量标準,其實就是把角度映射到一個數字的規定。不但角度裡有度量标準,其他領域也有很多,舉個長度方面的例子吧,比如面對一把40米大刀時:

"刀的長度"是客觀固定的,然而映射到什麼數字,不同的度量标準下就不同,以米為單位,則映射到40，

以英尺為單位,則映射到...,以丈為單位,則映射到...很好理解吧?現在我們看下角度的各個度量标準:

角度制:

把周角映射到360

意義:

方便計算(除以2,3,4,5,6都是整數),

而且常見的角度在100以内,

也方便理解

弧度制:

把周角映射到2π,

意義:

角度對應的單位圓的圓弧長度

轉角制:

把周角映射到1,

意義:"部分/整體"的比值

突然覺得"轉角制"才是這幾個中定義得最自然最完美的,

然而數學家為啥不用呢?

偏偏把角度映射到π這種無窮無盡的無理數上,

這就要牽扯到數學的底層邏輯模塊——重要極限

我們先來看看這個極限式的幾何意義：

這與弧度制的選取有什麼關系？下面做點簡單論述:

也就是說"重要極限 sinx/x"的取值被改變了!

你也許會說,

我不在乎,

在我眼裡,

隻是區區一極限,

變就變,

有啥大不了的?

但是,

重要極限之所以叫做"重要極限",

是有原因的:

如果重要極限的值被改變了,

那麼三角函數的求導公式也得變了:

沒有對比就沒有傷害:

更糟糕的是,

還影響其他模塊!

所有依賴三角函數的公式都會變得複雜了

比如:

高階導數公式,

積分,

泰勒展開

.......

原來使用弧度制的意義是:

這個制度下,公式是相對最簡單的

而且三角函數的代數定義是在單位圓中完成的：

所以三角函數又叫圓函數，三角函數注定要和圓周率有關系（π你是扔不掉的），如果不在角的量化定義中引入π，則數學的很多公式都會變得複雜，這是精心選擇的結果！

現在你明白為什麼說弧度制使整個數學世界都變得“方便”了吧。

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