幾乎從一出生開始，我們就開始接觸數學，甚至比接觸語文還要早。到了牙牙學語的時候，爸媽主動教我們認數字，然後是簡單的加減法。到了學齡階段，數學也是與語文同等重要的學科。

古代人類對數學也非常癡迷，熱衷于研究數學。古代人類一直相信整數看起來如此優美，肯定可以代表宇宙中的所有事物。

但是，随着一次意外地發現，完全颠覆了古人類對數學的認知。

在研究等腰直角三角形時，人們發現，如果三角形的直角邊是1，那麼斜邊長就是根号2。但是當人們想知道根号2到底是一個什麼數時，就開始“恐懼”起來。

人們發現，不管如何計算，根号2好像永遠算不到盡頭一樣，人們第一次認識到了無理數的存在。無理數的發現也徹底打破了人們對自然界中整數的優美認知。

但人們不可能對無理數視而不見，而是開始擺脫對整數的追求，進而研究無理數。無理數的存在也讓人們第一次開始思考有關無窮的概念。

最典型的就是“在“芝諾悖論”，具體是這樣的。

你和一隻烏龜賽跑，你的速度是烏龜的10倍，但烏龜的起點在你前方100米。當你跑100米來到烏龜起點的時候，烏龜跑了10米。當你跑10米時，烏龜跑了1米。當你跑1米的時候，烏龜跑0.1米......

能夠看出，你跑的距離永遠是烏龜之前跑的距離，也就是說，你永遠追不上烏龜。

但現實中我們都知道，你很快就會追上并超越烏龜。古代人類開始思考無窮的概念，如果按照上面的思路，很容易陷入悖論中不能自拔。但仔細思考就能看出悖論的問題所在。對路程的無限細分意味着需要無窮多的時間，但是你的時間總是有限的，你肯定不能在有限的時間裡做無窮多的事情。當然，用如今我們知道的極限概念更容易理解。

對無窮概念和無理數的思考也讓人類化解了第一次數學危機。直到兩千多年之後，第二次數學危機才悄然降臨，也就是微積分思想。

在牛頓時代，人們還沒有完全理解0和無窮下之間的關系，沒有徹底搞清楚積分，微分還有導數的真正含義。

比如說在研究曲線上某個點的切線斜率時，如今我們知道可以在切點上取一個邊長無限小的直角三角形，用這個三角形的斜邊就可以代替切線斜率。

但是人們的心裡面總是有一道過不去的坎：總是認為無論直角三角形有多麼小，斜邊也不可能真的是切線斜率。兩者總是有誤差的，不能畫等号。

直角三角形的斜邊可以無限靠近切線斜率，但兩者永遠不會相同。這就像如今很多人還在質疑的一個問題很類似：0.999......和1到底是不是相等的問題。

這就是數學史上的第二次危機，根本還在于人們對微積分的理解有偏差。

第三次數學危機發生在第二次數學危機的兩百多年之後。主要是關于集合論的辯論。最著名的就是“羅素悖論”。

舉個簡單的例子，一個非常牛逼的理發師打出一個條幅，條幅上寫着：給所有不能給自己理發的人理發！

那麼問題來了：這個牛逼的理發師能不能給自己理發呢？

如果能，就與宣傳廣告發生矛盾了：給不能自己理發的人理發，但理發師能自己給自己理發。如果不能，也不行，因為理發師說了能給自己不能理發的人理發。

羅素悖論聽起來更像是一種詭辯，對集合論定義的詭辯。不過即使是真的是詭辯，人們至今也沒能很好地解釋這樣的詭辯的問題到底出在哪裡。

就像人們網絡上經常會遇到的一個問題：上帝能無所不能的，那麼上帝能制造出一個他自己搬不動的石頭嗎？與上面的理發師問題一樣，無論能或者不能，都會出現矛盾。

從哲學上分析，羅素悖論其實是唯心主義與唯物主義的争論。

如果你是唯心的，你會認為世界都是你的表象，世界隻是你意識幻想出來的虛拟環境。于是問題出現了：“你”本身是不是意識虛幻出來的呢？如果是，“你”對“你的概念”的質疑是不是也是虛幻出來的呢？如果也是，那麼“你”對“你質疑你的概念”的質疑是否也是虛幻出來的呢......

如此一直下去，沒有盡頭。最本質的一個問題是：“你”本體到底在哪裡？說白了，“你”到底是怎麼存在的？

通俗理解，上面的矛盾是這樣出現的：你總是首先把你自己置身在某個事件之外，不過換個角度，你自己其實也身在事件之中。所以問題就演變為：你本身到底是在事件之外還是事件裡面？

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