圓中三大基本定理題型-tft每日頭條

圓中三大基本定理題型

教育更新时间:2025-02-03 18:53:41

一道高中幾何題-求圓的一個弦長

點A， B， C， D在一個圓周上，AC是直徑，∠CBD=∠DBA，如果BC=2， AB=4，求BD的長度。參見下列的草圖，注意這個草圖不成比例。

圓中三大基本定理題型（一道高中幾何題-求圓的一個弦長）1

圓中三大基本定理題型（一道高中幾何題-求圓的一個弦長）2

解：

方法1：利用餘弦定理，如圖将圖形畫的規範些，可以看出點D是平分弧DC和弧DA，這樣D向CA的垂線的垂足為E是圓心。連接BE，則BE和DE都是半徑，而直徑AC利用勾股定理，可以求出，因為兩個直角邊為2和4，所以

圓中三大基本定理題型（一道高中幾何題-求圓的一個弦長）3

圓中三大基本定理題型（一道高中幾何題-求圓的一個弦長）4

帶入值後得出AC=2√5

所以BE=DE=√5

若要利用餘弦定理求BD，需要求角度∠EDD的餘弦值，因此BF垂直于CA，垂足為F，并設角∠BEC=α, 如下圖：

圓中三大基本定理題型（一道高中幾何題-求圓的一個弦長）5

BF按照面積的方法可以求出：

BF=（BC·BA）/CA=2·4/(2√5)=4/√5

所以sinα=BF/BE=4/5

因此cos∠BED=cos(α 90°)

=-sinα

=-4/5

随後在三角形BED中用餘弦定理：

BD2=22 42-2x2x4(-4/5)

解出：

BD=3√2

方法2：用正弦定理, 如下圖；

圓中三大基本定理題型（一道高中幾何題-求圓的一個弦長）6

顯然由于是同弧的圓周角相等，∠CDB=∠CAB=θ,

而sinθ=BC/AC=1/√5,

在三角形ABD用正弦定理有：

圓中三大基本定理題型（一道高中幾何題-求圓的一個弦長）7

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