上期立體幾何中折疊體中出現了最下角定理和二面角的最大性定理，後台有留言問及這兩個定理，今天對這兩個定理做一次簡要說明。

與這兩個定理有關的題目常見于空間中角的比較，例如浙江省曾經連續三年考到了類似的題目，鍊接為：三年套娃系列之空間角大小的比較，但這種單純比較三類空間角大小的題目在全國卷和新高考中并不多見，解決此類問題常規做法是作出所需角的平面角，利用三角形中比較邊長的大小，進而确定正弦餘弦或正切的大小，最終确定角的大小，但有的時候線線角和線面角，線面角和二面角可以直接确定出大小關系。

另外還有一類題型就是在立體幾何中涉及空間角的最值問題，有時候也可以利用最小角和最大角定理判斷出來。

立體幾何中的最小角定理：

最小角定理可從三餘弦定理中推斷出，如上圖所示，OA為斜線，AO為斜線的投影，則∠OAQ為線面角，OA,AP為線線角，根據三餘弦定理可知線線角≥線面角，當AP恰好為OA投影時取等，即線面角是線線角的最小值，這個很容易理解，之前的推送中有好多比較角度大小的題目，可以自己搜一下，順便再說一下，三餘弦定理是判斷兩條異面直線垂直與否的常用工具。

分析：因為PQ，AC異面，兩條直線不可能存在誰是誰的投影的情況，根據線線角大于線面角，若PQ，AC夾角為30°，則線面角一定小于30°，因此隻需把其中一條直線放到一個平面内求線面角即可。

若把AC放到平面ABC中，此時PQ和平面ABC的線面角很容易找，就是∠CPQ，即根據∠CPQ<30°來确定PA的取值範圍，但此時CP，CQ，PQ均未知且與AP沒有直接關聯，因此方法欠妥，應該将PQ放到某個平面内，如平面PCD中，求AC與平面PCD的線面角小于30°即可。

因為CD⊥AC，隻需從A點作PC的垂線AH即可，因此AH⊥PC且AH⊥CD，點H落在直線CP上，所以AC與平面PCD所形成的線面角即為∠ACP,隻需根據∠ACP<30°求出PA的取值範圍即可。

立體幾何中的最大角定理：

在上次折疊問題中最後一個題目給出過最大角定理，最大角定理比較的是二面角和線面角的大小關系，以下圖為例：

上面的圖隻是一種特例，可歸納為若平面α和平面β的二面角為∠AOB，則平面α中的任意一條直線l與平面β所成的線面角均小于等于∠AOB，取等時l與AO重合，簡言之為二面角是線面角的最大值。

分析：回顧一下正四面體中與二面角有關的常用結論，正四面體側面與底面所成角的正弦值為2√2/3，餘弦值為1/3

根據最大角定理，二面角是線面角的最大值，PE與平面BCD的夾角要小于等于平面ACD與平面BCD的夾角，而側面與底面所成二面角的平面角為∠AOB（O為BC的中點），當PE//AO時，sin θ取得最大值為2√2/3，若問cosθ的最小值則為1/3.

與立體幾何中最小角定理和最大角定理，本身也不難理解，算是對立體幾何三類空間角的補充。

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