幾何篇

● 平行四邊形（實用度： ★ ★ ）

兩邊長為a和b，兩對角線長為m和n，可以拿這個公式和托勒密定理對比記憶。

● 三角形

A.勾股數（實用度： ★ ★ ）

常見的最簡勾股數有：

3、4、5

5、12、13

8、15、17

7、24、25

9、40、41

B.面積公式（實用度： ★ ★ ）

邊角邊公式：利用兩邊及其夾角求面積。

S=1/2SinB*ac。兩邊對應于ac,夾角是B,

邊邊邊公式

公式中a，b，c分别為三角形三邊長，p為半周長，S為三角形的面積。

PS：幾何中的三角形面積公式隻需要記這兩個個，其他的公式連競賽都很難用得上。

C.三角恒等式（實用度： ★ ）

這幾個公式對于初中來說确實沒什麼用，很少能用到。不過如果有興趣，記下來了，高中需要背的時候就會少一些麻煩。

D.正餘弦定理（實用度： ★ ★ ）

在遇到45度、60度、75度之類的非直角三角形題目時，我們可以用上這兩個公式。其他時候很少能用得上。所以要記得：

E.重心（質量法）（實用度： ★ ★ ★ ）

三角形的重心将中線分為2：1的兩段。

質量法：（填空壓軸題重點！！）

兩個小球A、B，如果質量相等，如（1），那麼它們的重心是AB的中點D。

如果質量不等，質量比為m/n，如（2），那麼重心D仍在AB上，而AD/DB=n/m。（即杠杆原理）

如果三個質量相等（都等于1）的小球A、B、C構成三角形ABC要求它們的重心可以分為兩步：

先求出B、C的重心，即B、C的中點D，可以用質量為2（=1 1）的小球放在D點，以取代B、C兩個小球。

再求A、D的重心，由于D處的質量為2，A處的質量為1，所以重心G在AD上，且分AD為2：1（即AG：GD=2：1）。

下面，我們舉一個簡單的例子。

例：如圖△ABC，AB上有一點E，BC上有一點D，AD交CE于點G，當AE：EB=1：2，BD：DC=1：2時，AG：GD等于多少？

解：我們在C處放質量為1的小球，B處放質量為2的小球，A處放質量為4的小球。此時AB、BC的重心E、D滿足AE：EB=1：2，BD：DC=1：2。

我們将B、C的質量集中在D點，質量為3。A點質量為4。故AG：GD=3：4

同樣如果需要，我們可以求得EG：GC=1：6

● 圓

A.弦切角定理（實用度： ★ ★ ）

解釋：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

如圖所示，線段PT所在的直線切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都為弦切角。

定理：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數。

在上圖中，我們有∠TCB=∠CAB、∠PCA=∠CBA

B.圓幂定理（實用度： ★ ★ ★）

相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理的統稱。

①相交弦定理：圓内的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

如圖I，即有AP·PB=CP·PD

②割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分别交于A、B；C、D，

如圖II，即有PA·PB=PC·PD

③切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

如圖III，即有PA^2=PC·PD

④切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。

如圖IV，即有PA=PC

C.托勒密定理（實用度： ★ ★ ）

圓内接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。

如圖，即有AB·CD AD·BC=AC·BD

D.四點共圓（實用度： ★ ★ ★ ）

（填空壓軸題重點！！）

①對角互補的四邊形四點共圓。∠ADC ∠ABC=180度

②一個角的對角等于其補角的四邊形四點共圓。∠ADC=∠EBC

③同底、同側且對底邊張等角的四點共圓。∠ADB=∠ACB

④相交弦定理的逆定理。AP·PC=BP·PD

⑤割線定理的逆定理。PA·PB=PC·PD（圖中未給出）

⑥托勒密定理的逆定理AB·CD AD·BC=AC·BD

⑦西姆松定理及逆定理。

過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。

西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。

上述定理的核心之處就在于各個定理通過四點共圓和相似三角形聯系在一起。我們舉一個例子進行練習。

例：如圖，△ABC為等邊三角形，D為AB上一點，點E為CD延長線上一點，連接AE、BE，∠BEC=60度，若AE=3，CE=7 ，則BE=________。

解：

因為△ABC為等邊三角形，

所以∠BAC=∠BEC=60度，

所以A、E、B、C四點共圓

由托勒密定理可得：AB·CE=AC·BE AE·BC，

因為AB=AC=BC，

所以CE=AE BE，

所以BE=CE-AE=4

解析幾何篇

● 點線之間的距離（實用度： ★ ★ ★ ）

A.點與點

對于點（x1，y1）和點（x2，y2），距離

兩點的中點坐标

過兩點的直線斜率

B.點與線

對于點（x0，y0）和線y=kx b，距離

C.線與線

對于線y=kx b1和線y=kx b2（注意k必須相等，即平行線才有距離），距離

● 三角形的面積公式（實用度： ★ ★ ★ ）

對于一個點在原點，另兩個點分别為（x1，y1）和（x2，y2）的三角形面積為

代數篇

● 立方公式（實用度： ★）

● 頭同尾合十（實用度： ★ ★ ★ ）

名詞解釋

例如28*22，兩個兩位數，十位數字2相同，個位數字8 2=10，故稱頭同尾合十。

巧算方法

尾數相乘，得出的答案占後兩位；頭乘（頭 1），占前一位到兩位，就可以得出積。比如28*22，尾數相乘：2*8=16，2*（2 1）=6，依次排序就是616。

用法

85*85，口算時，為8*（8 1）=72，5*5=25，一邊算一邊寫就得出了答案7225。

47*45，口算時，折分成（45 2）*45來計算。45*45=2025，在腦子裡對2025加上90，即得2115。

PS：這個是小學速算，本質是整式的乘法。小學時也學過不少别的技巧，不過感覺這個最實用，尤其是對于35^2，65^2之類，效果很好，初中高中都能用到，能省半分鐘時間且沒有算錯的可能，也就沒有了驗算的麻煩。

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