這是一類相對成熟的題目，說是套路題也不為過，自從天津高考導數大題出現之後，網上對此問題的解析也很多，今天通過下面的幾個題目對此類問題做一次思路上的解析。

思路一.常規的函數構造法

這種形式和極值點偏移問題并沒太大區别，都屬于函數構造的範疇，利用新函數的單調性和特殊值以及未知變量所處的單調區間來證明不等式成立，此時所證不等式形式一般較為簡潔，不含分式或指對數的形式，如下題：

這種題目從形式上很容易判定，不再給出其他案例。

思路二.根據參數範圍或函數趨勢分别确定出兩變量各自的具體範圍

若已知函數中參數範圍，則可将參數的範圍看作其中某個變量的值域，再具體求出變量的範圍即可，這種形式常常隻需确定其中一個變量範圍即可，或者根據函數單調性和特殊點直接判斷出兩個未知量的範圍，典型案例如下：

本題可直接确定其中一個極值點為1，再根據參數範圍确定出另外一個變量範圍即可，當然本題也有其他解法，可以閱讀完本篇内容後再試着做一下。

本題雖存在參數m，但參數并不影響函數極值點和極值以及函數的單調性，函數有唯一負極小值，函數有兩個零點，隻需判定極值點左右兩側的值是否大于零即可。

思路三.替換參數，轉化為單純的雙變量證明問題

這也是雙變量問題中最常見的思路了，但在處理零點差的證明問題中并非全能，有時候參數并不容易替換，或者替換下來會出現比原式更複雜的情況，典型案例如下：

在本題中不等式的右側出現了常數2，且原函數其中一個極值點是x=1，結合函數趨勢，根據極值點偏移的處理方法可得到結論x1 x2<2，因此可将不等式轉化為證明x2-x1<x1 x2-a/2，再将參數a用x1,x2替換整理後就知道要往哪個方向證明了，過程如下：

本題若用切線法來證明，過程如下，具體方法需要注意的地方後續會講到。

思路四.用切割線放縮來證明

這是處理此類問題最簡單易用的方法，通常使用該方法時對函數的凹凸性有一定的要求，以上題的圖示為例，因為方程有兩個正實數根，所以從函數的兩個零點作切線，此時兩條切線與直線y=a的兩個交點之間的距離一定要大于x1,x2之間的距離，但這裡需要加入兩次恒成立的證明過程，其實這種方法可量化簡化為以下步驟，以題目為例：

本題中兩個零點很容易确定，分别是0和1，分别求出函數在x=0和x=1處的切線後，無需求出兩切線與y=a交點的坐标，直接根據曲線和切線的位置關系得到恒成立的不等關系，進而求出x1和x2各自的取值範圍，注意這種方法需要在确定出函數單調性的基礎上再确定出函數在極值點左右兩側的凸凹性，其中用到的兩個不等式恒成立需要分别給與證明，一般來說結合放縮後兩個不等式恒成立很容易證明。

下面的題目和上題解法類似，兩處标記依舊需要證明，不再給出解析。

上述兩題中都是從函數零點處作切線，但如果函數零點不容易求或者函數并不存在兩個零點時又該如何處理？具體方法以下面兩個題目為例：

函數單調性和極值很容易确定，根據參數a的範圍可判定出x1,x2各自的範圍，如下圖所示：

如圖可知，x1>-2，可利用函數在(-2,f(-2))處的切線放縮，求出x1的範圍，但此時x2的範圍并不容易确定，此時有兩個方法，一是根據已求出的x1的範圍和所證不等式推測出x2取點的位置，二是找臨近特殊點，求特殊點處的切線即可，在本題中可選用x=0處的切線來放縮，依舊不要忘記兩次恒成立的證明。

上述5-7題均使用切線放縮，因為在所處的區間内函數有明确的凹凸性，切線和割線的極限形式，因此也可使用割線放縮，注意什麼時候用割線，什麼時候用切線。

注意此時函數在各自區間的凹凸性(注意二階導在函數凸凹性上的判定方法)，此時先證明兩零點差的最小值，分别以兩個零點和極值點作割線并求出各自的直線方程，此時兩條割線與直線y=a的兩個交點之間的距離|x3-x4|(圖示并未标注)是小于x1,x2之間的距離的，随着a值的縮小，此時|x3-x4|的距離也越小，此時|x3-x4|的極限情況可看作是x1,x2距離的最小值，因此割線放縮常用來确定零點差的最小值。

用切線放縮時要确定切線的位置，函數有一個零點x=1很容易确定，但另外一個零點x=0并不在定義域内，因此需要在(0,1/e)之間确定一個值，根據所證不等式的形式中出現的e^-3次，因此可确定在x=1/e^³處的切線，和割線類似，切線放縮可求出兩根之間距離的最大值。

以上四種方法是處理導數零點差範圍的常用做法，相似的題目并不局限于某種解法，合理分析題目條件選擇合适的方法即可。

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